Inducing Coordination in Supply Chains through Linear Reward Schemes

תיאום מתמשך בשרשרת האספקה באמצעות תוכניות תגמול לינאריות

קבלת החלטות מבוזרת בניהול שרשרת האספקה היא שכיחה למדי, ולעתים קרובות בלתי נמנעת, בשל גודל השרשרת, הפיזור הגיאוגרפי שלה ומספר הסוכנים שמשחקים בה תפקיד. אבל, בקבלת החלטות מבוזרת ידוע שתהיה תוצאה של שיווי משקל נאש לא יעיל, והתוצאות האופטימליות הממקסמות את הסכום של כלי עזר של כל הסוכנים לא צריך להיות שיווי משקל נאש. במאמר זה מדגימים באמצעות מספר דוגמאות של מודלים שרשרת האספקה כיצד גמול ליניארי / תוכניות עונש יכולים להיות מיושמיםם כך שפתרון אופטימלי הופך לשיווי משקל נאש. הדוגמאות במאמר מייצגות בעיות תיאום אנכיות ואופקיות. הטכניקות בנויות על מסגרת כללית לשימוש בתוכניות שכר / קנסות ליניאריים כדי לעודד יציבות בפתרונות אופטימליים נתמכים, ועליהן להיות שימושיות להגדרות אחרות של ניהול פעולות מרובות סוכנים.

בתגובה ללחצים ההולכים וגדלים של השווקים הגלובליים, רשתות האספקה ומערכות ההפצה נעשות יותר ויותר מורכבות. חוסר היעילות בניהול מערכות אלו עלול לגרום להצטברות משמעותית של עלויות שעשויות להיות קריטיות להישרדותם של הארגונים הרלוונטיים, שכן התחרות העולמית מפעילה לחץ על שולי הרווח. בהתחשב במציאות זו, מנקודת מבט חיובית, ניהול מוצלח של רשתות אספקה מורכבות יכול להיות לגורם הצלחה חשוב מאוד בארגונים כאלה.

סוגיה מרכזית המטופלת בפרקטיקה ובספרות של שרשראות האספקה ​​נוגעת לתיאום בין הגורמים השונים בשרשרת, לבין ההשפעה השלילית הפוטנציאלית הקיימת להתנהגות לא מתואמת. כמובן, הדרך האולטימטיבית להשגת תיאום היא באמצעות שליטה מרכזית, המתייחסת לכל ההשלכות שיש להחלטות ולפעולות על הארגון. לא קיימת נקודת מבט כזו כאשר מתבצעת בקרה מבוזרת ולכן צפוי חוסר יעילות מובהק. אכן, חוסר היעילות של קבלת החלטות מבוזרת ידוע כבר זמן רב, למשל “דילמת האסיר” או “הטרגדיה של המונים”. אבל, קבלת החלטות מבוזרת היא לעתים קרובות בלתי נמנעת, בשל גודל השרשרת, הפיזור הגיאוגרפי שלה, ומספר הסוכנים שמשחקים בה תפקיד. כאשר ניתנת לסוכנים האופציה לפעול בצורה חיובית, זה עשוי להגביר את ההזדהות שלהם עם משימת הארגון. יתרונות התנהגותיים אלה עשויים להיות בעלי השפעה חשובה על הארגון ועל מטרותיו ארוכות הטווח.

באופן פורמלי, במערכת ניהול מרכזית, מקבל ההחלטות המרכזי מחפש אחר פעולות אשר ימקסמו תפקודים אובייקטיבים גלובליים בארגון. בארגון מבוזר, הפעולות של כל אחד מהסוכנים רבים משקפות רק את ההעדפות האישיות שלהם, אשר באות לידי ביטוי על ידי פונקציות השירות האישי שלהם. שיווי משקל נאש הוא התוצאה הטבעית בסביבה כזו. התמורה של הסוכנים בשיווי משקל נאש אינה בהכרח ייחודית ולא צריך להיות אפילו ערך ייחודי עבור סכום של שירותי הסוכנים הקשורים בפתרונות שיווי משקל של נאש.

מחברים רבים דנו בסוגיית ההשוואה בין החלטות מרכזיות להחלטות מבוזרות בהקשר של שרשראות האספקה ובהקשר של לכמת את ההטבות שעשויים לקבל מההחלטות המרכזיות. לדוגמה, דנו בתופעת “bullwhip” וההשפעות השליליות האפשריות שלה. חוקרים אחרים בדקו את השפעת שיטות החיזוי והשיתוף על ביצוע רשתות האספקה. חוקר סקר תוכניות תיאום שונות ודן בתכונותיהם. במאמר נוסף מתארים קבוצה של דוגמאות מספריות של הבדלים בהגדרות שרשרת האספקה ​​השונות. כמו כן נעשה פיתוח פתרונות אינטרקטיביים מבחינה אנליטית לבקרה מרכזית ומבוזרת של מערכות עם מוצרים תחליפיים.

מחקרים נוספים יצרו כלים שנועדו לשפר את התיאום בין ישויות בשרשרת. גישה אחת כזו, הנקראת התגובה המהירה, נמצאת בתחום שיתוף המידע. אבל בעיה אפשרית בשיתוף מידע היא ששידור מידע בזמן אמת עשוי להיות מורכב ויכול להיות ליצור למשל דליפת מידע סודי למתחרים. גישה אחרת, מנסה להסדיר את היחסים בין ישויות בשרשרת. גישות אחרות מציעות מודלים תמריצים כמותיים של תגמולים ועונשים על מנת לשפר את התיאום. כמו כן, אחד החוקרים הציע מנגנון שיתוף רווחים, אך נמנע מלזהות את ההקצאה היחסית הטובה ביותר של הרווח המשותף או לספק מסגרת מלאה להסבר המנגנון שתיאר.

הגישות המתוארות לעיל מספקות מנגנוני תמחור אד – הוק. מנגנונים אלו שימושיים והוכיחו כי הם יכולים לשפר את ביצועי שרשרת האספקה ​​של ארגונים שונים. עם זאת, לספרות הקיימת היום עדיין חסרה גישה כללית מוצקה של היקף תוכניות תמריצים. מטרתו של מאמר זה היא להציג מסגרת כללית לשימוש במנגנוני תמריץ ולהפגין את התועלת שלה באמצעות דוגמאות. באופן ספציפי, המאמר מראה כיצד תגמולים ועונשים ליניאריים על פעולות של מקבלי ההחלטות במערכת שרשרת האספקה, ​​יכולים לשמש כתמריצים המאפשרים “לסגור את הפער” בין האופטימיות הגלובלית שהושגה באמצעות תיאום כולל ושיווי משקל נאש. התגמולים עבור “פעולת היחידה” שמשתמשים בה בתור תמריצים, נקבעים על ידי ההשפעה השולטת של פעולות הסוכנים על רווחתם של שאר הסוכנים, שהוערכו בפתרון אופטימלי נתון. במאמר זה מראים שהפתרון האופטימאלי הנתון הופך לשיווי משקל נאש במנגנון תמריץ זה. התחולה הרחבה של הנוסחה המבטאת את הפעולה ליחידה, ובמיוחד את התועלת הפוטנציאלית שלה בהקשר של ניהול שרשרת האספקה, מהווה את התרומה העיקרית של מאמר זה. חוקרי המאמר ציפו שהמסגרת שנקבעה לשימוש במחירים ליניאריים, תהיה בסיס למחקרים נוספים על מנגנונים המעודדים תיאום.

בספרות הכלכלית, השפעות צולבות של פעולות הסוכנים על רווחתם של גורמים אחרים נקראות השפעות חיצוניות. לשימוש בהשפעות חיצוניות שוליות כתמריצים ליצירת יציבות של תוצאות רצויות גלובליות יש היסטוריה ארוכה, למשל, ישנה ספרות המתמקדת במבנים ספציפיים כמו סחורות ציבוריות ומיסוי מסוים ועל יחסי האופטימיות של פארטו ושיווי המשקל הכללי. המסגרת הפורמלית של מאמר זה עוקבת אחר רוטבלום, המזהה תנאים מספיקים לשימוש בשוליים חיצוניים כדי להפוך את הביצועים המיטביים לשיווי משקל של נאש. הניתוח במאמר על הדוגמאות אינו תלוי באופן לוגי באף אחת מההתייחסויות לעיל – הם מאמתים את האפקטיביות של מנגנון התמחור ואת הייחודיות של שיווי המשקל הנאש המתקבל ישירות.

החוקרים מציגים את המסגרת הכללית ומיישמים אותה ל4 דוגמאות. כדי להתמקד ביישום עצמו ולחסוך את המרחב הדרוש להצגה מקיפה של כל דוגמה, נבחרו דוגמאות ידועות שבהן חוסר היעילות בהתנהגות לא מתואמת כבר נדונה.

תוכניות תגמול לינארי

שוקלים מערכת של שרשראות אספקה שבה ישנם n סוכנים  (ספקים, סיטונאים, מפיצים, קמעונאים, וכו ‘) פועלים. כל סוכן צריך לבחור פעולה מקבוצה של פעולות אפשריות עבור אותו סוכן. הפעולות יכולות להיות רב משתנות. החוקרים מניחים כי כל פעולה היא רציפה ונקבעת על ידי פונקציות. כאשר הסוכנים בוחרים פעולה בהתאמה, כל סוכן מרוויח תועלת. כאשר התועלת הינה פונקציית השירות של הסוכן. לכן, כלי השירות שנרכש על ידי כל סוכן תלוי בפעולות שננקטו על ידי כל הסוכנים ולא רק על ידי הפעולה שלו. פונקציות היעילות האלו נפוצות במערכת שרשראות אספקה ובמצבים אחרים של קבלת ההחלטות על ידי סוכנים רבים. החוקרים מגדירים את פונקציית השירות הגלובלית לסכום של פונקציות השירות של הסוכנים. לבסוף, הם מניחים מידע מושלם – כלומר, כל המונחים שהוגדרו לעיל ידועים לכל הסוכנים.

קיימות שתי גישות עיקריות לניתוח המערכות עם המבנה המתואר לעיל -הגישות המרכזיות והמבוזרת. תחת גישה המרכזית, סוכנים, או מקבלי ההחלטות הריכוזיים, בוחרים פעולות אפשריות בכדי למקסם את היעילות.

החוקרים מתייחסים לפעולות אלו כאל פתרון אופטימלי גלובלי. על פי הגישה המבוזרת, יש לבחור את הפעולות האפשריות על ידי הסוכנים, כך שבכל פעולה הסוכן ימקסם את התועלת שלו. מתייחסים לזה כאל פתרון שיווי משקל נאש. כידוע, פתרונות שיווי המשקל של נאש אינם צריכים להיות יעילים, שלא לדבר על אופטימום גלובלי, כפי שמוכיחה הדוגמה המוכרת של דילמת האסיר. כמובן, כל פתרון שיווי משקל נאש נשלט על ידי כל פתרון אופטימלי גלובלי.

קביעת פתרונות שיווי משקל של נאש מחייבת פתרון סימולטני של בעיות אופטימיזציה, כאשר הנתונים עבור כל בעיה נקבעים על ידי הווקטורים המהווים פתרונות לבעיות האחרות. כמו כן, במאמר זה מגדירים תוכנית תגמול ליניארית בתור קבוצה של וקטורים, יחד עם הפרשנות כי פונקציית השירות של כל סוכן משתנה על ידי הוספת מונח לינארי. הבחנה וסדירות, הם התנאים הנדרשים כי כל תועלת היא משתנה קעור לפעולה.

ההתנהגות של הסוכנים היא קבועה כאשר תנאים קבועים מתווספים לפונקציות השירות הפרטניות, ושינויים כאלה אינם משפיעים על מערכת פתרונות שיווי משקל נאש. עם זאת, תנאים קבועים עשויים למלא תפקיד מעשי חשוב בחלוקה מחדש של רווחים (או בעלויות הפרט), אשר עשויים לנבוע מהמעבר לפתרון אופטימלי גלובלי, שכן ניתן להשתמש בהם בכדי לספק לסוכנים תמריצים אישיים למעבר לשיווי המשקל החדש של נאש.

לפונקציות היעילות  יש את היתרון שבו פתרונות שיווי משקל נאש המקבילים לא ידרשו משאבים נוספים שאינם משתמשים בהם, כאשר הפעולות נלקחות תחת הפונקציות השירות המקורי. כאשר סך ההכנסות תחת הפתרון האופטימלי העולמי עולה על אלה שנוצרו בכל שיווי משקל נאש (או כל פתרון שרירותי אפשרי), יישום של פונקציית היעילות יפיק כספים נוספים שיכולים לשמש לטובת כל הסוכנים.

תוכניות תגמולים לינאריות קובעות תמריצים אינדיבידואליים לסוכנים. כך גם כאשר הפעולה של הסוכנים משתלבת. החוקרים טוענים כי המערכת היא סימטרית כל סוכן וכל פעילות הם אינם קשורים וקיימת להם תועלת אישית.

במקרים כאלה, קעירה וקיום של פתרון אופטימלי גלובלי מבטיחים את קיומו של פתרון אופטימלי סימטרי. ניסוח זה לוכד מודלים שבהם כלי השירות של הסוכנים תלויים בפעולתם של הסוכנים האחרים באמצעות ממוצע פעולותיהם (למשל ניצול ממוצע או צריכת משאבים, איכות ממוצעת); במקרים כאלה, סך פעולויותיהם של הסוכנים מחולקת למספר של הסוכנים.

בדוגמאות הבאות, החוקרים יישמו את הגמול / העונש על פתרונות אופטימליים גלובליים וווידאו כי תחת שינויים של פונקציות היעילות, הפתרונות האופטימליים הנתמכים הם שיווי משקל נאש.

דוגמאות לתאימות שרשרת אספקה

פרק זה מציג מספר דוגמאות של מודלים סטנדרטיים של שרשרת האספקה ​​בהם התיאום מועיל ואשר במסגרתו חלה המסגרת הניתנת בסעיף הקודם. דוגמאות 1-3 נוגעות לאינטראקציות הקשורות למיקום, חידוש אספקה ובחירת ספק. דוגמא 4 נוגעת לתיאום בין הקמעונאי לבין הספק בנוגע למחיר הסיטונאי וכמויות. דוגמא 5 שייכת למחלקת הבעיות התיאום האנכיות. המשותף לכל הדוגמאות הוא , משמע שכל פעולה של סוכן שנעשית נוגעת לבחירה של פרמטר יחיד. דוגמאות אלו מדגימות קשת רחבה של מודלים של שרשרת האספקה ​​שאליהם הגישה שלנו יכולה להיות שימושית.

דוגמא לתיאום בין מיקום-

מודל סטנדרטי המתבסס על בעית תיאום אופקית. החוקרים בודקים רשת גלידות המפעילה שתי עגלות מכירה לאורך רחוב באורך 2 מייל. מניחים שהביקוש לגלידה – D של כל לקוח פוטנציאלי הינה פונקציה לינארית דועכת של המרחק לעגלה הקרובה ביותר: , כאשר  הינו קבוע ו-d הינו המרחק לעגלה הקרובה ביותר (אם המרחק בין העגלות שווה – נטיל מטבע). הלקוחות הפוטנציאליים מפוזרים באופן אחיד לאורך הרחוב. אנו ממפים נקודות לאורך הרחוב על ידי המרחק שלהם מהמרכז. מיקומי העגלות יסומנו ב- a ו-b כאשר: .

פונקציית הרווח: הרווח הצפוי לשתי העגלות במיקומים a  וb . הפונקציות הן u1 ו-u2.

הנוסחאות תקפות גם עבור מקרים בהם הלקוחות לא מפוזרים באופן אחיד. נוסחא 6 עבור u1. נוסחא 7 עבור u2.

הפונקציות קעורות ב-(a,b) ובנוסף עבור  הפונקציות ניתנות לתפעול מ-6 ו-7 ע”י החלפת תפקיד שני האופרטורים.

שיווי משקל אופטימלי גלובלי – מכיוון שהבעיה הינה סימטרית ניתן להניח בלי הגבלת הכלליות ש-

  ולכן פונקציית הרווח הגלובלית הינה (נוסחא 8). ערכי a ו-b הממלאים את הדרישה לשיווי משקל אופטימלי הם . (וגם  עקב סימטריות.

יישום לינארי של תגמול –  החוקרים התמקדו בפיתרון האופטימלי שהוגדר קודם לכן. יישום תגמול לינארי באמצעות נוסחאות 3 ו-4 ע”י הגדרת הקבועים  ו- (נוסחאות 9 ו-10). תוך לקיחה בחשבון של הקבועים ננסח פונקציות תגמול (נוסחאות 11 ו-12).

הפיתוח בנוסחאות 13 ו-14 מוכיח כי פיתרון שיווי המשקל שנמצא קודם הוא האופציה היחידה לתגמול.

תובנות – התגמול של שתי העגלות תחת התנאי של שיווי משקל מהווה הכנסה נוספת שהתקבלה כתוצאה משיפור ביצועי המערכת.

דוגמא לשרשרת אספקה עם n קמעונאים עצמאיים בתקופה אחת – לקמעונאים דרישות עצמאיות ואקראיות רציפות למוצר. לכל קמעונאי עלויות אחזקה קבועות משלו. כולם מזמינים אספקה מספק בודד בעל כמות מוגבלת (קבועה). כאשר העמות המוזמנת עולה על היכולת של הספק לספק, הוא מפעיל תוכנית חלוקה יחסית הקובעת את הכמות שכל קמעונאי יקבל. האספקה תסופק ביחס לכמות שהוזמן. התוכנית היחסית הזו מתמרצת את הקמעונאים לנפח את הכמות שהם מזמינים. מצב זה נקרא לעיתים “משחק המחסור” היוצר מספר בעיות בשרשרת אספקה תקינה.

פרמטרי המודל: בלי הגבלת הכלליות אנו מניחים שלספק יש כמות (1) של מוצר כלשהו. עלויות האחזקה של הקמעונאי i הם  ו-. פונקצית צפיפות הדרישה והאפסקה עבור קמעונאי i יהיה .

פיזור הדרישה והצפי יסומנו ב-  ו-. נניח ש- [0,1] הם גבולות פונקציות הצפיפות. לבסוף נניח שלא ניתן להיפטר ממוצר מבלי למכור אותו.

פונקציית העלות של הקמעונאי – הוזמנה כמות q של המוצר וסופקה כמות g שלהם. העלות של הקמעונאי עבור המוצר שקיבל g תואמת את נוסחאת “מחלק הדואר” (נוסחא 15). הנוסחא המצויינת ניתנת תמיד לגזירה והיא גם תמיד קעורה. צורתה מופיעה באיור 1. עבור דרישה שונה מ-1 נקבל את פונקציית ההחלטה (נוסחא 16).

נוסחא 17 – סדרת פונקציות השירות  שמקבל קמעונאי i עבור הזמנות .

פונקציית היעילות  היא פונקציה של  עם  עם המאפיינים הבאים:

סעיפים 1-4 מציינים את המאפיינים של הפונקציה.

שיווי משקל אופטימלי גלובלי –  הינו המינימיזציה של . כאשר

gi   לכל i. בנוסף אנו נביט רק במקרה שבו .

מסקנות:

1. gi   עבור לפחות קמעונאי יחיד.
2.  אם קמעונאי i יכול לשפר את פונקציות המינימיזציה w ע”י הגדלת החלק שלו.
3. הכפלת פונקציות המינימיזציה בקבוע  ממקסמת את פונקציית השירות u.
4. אין שיווי משקל.

יישום תגמול לינארי – פיתרון הגלובלי האופטימלי:  עבור .

בדומה לדוגמא הקודמת (עגלות גלידה( משתמשים בקבועים שהוגדרו בנוסחאות 3 ו-4. לכל קמעונאי i נגדיר קבוע

(נוסחא 18). נקבל ביטוי מפורש לכל  תוך שימוש בנוסחאות 16 ו- 17 ו-  – נוסחא 19. נוסחאות 20 -21 מתארות את  תחת הנחות מסוימות.

מה שמביא את המסקנה שהפונקציות תגמול מקבלות ערך מקסימלי ב- .

תובנות – ההשפעה של תגמול לינארי במקרה זה הוא הענשת הקמעונאים שהגדילו את ההזמנה שלהם. העונשים מעלימים את המוטיבציה לנפח את ההזמנה. על אף שלקמעונאי מידע בנוגע לזמינות המוצר אצל הספק אף קמעונאי לא מסוגל להצליח יותר מאחר אם לא יבצע בדיוק את ההזמנות לו הוא זקוק.

התאמת הקמעונאים בנוגע לבחירת הספקים – n קמעונאים זהים אשר לכל אחד דרישה דטרמניסטית של מוצר אחד לתקופה בודדת מסוג סחורה מסוים. הקמעונאים יכולים לבצע הזמנה מ-2 ספקים שונים.

ספק אחד מחייב מחיר קבוע (V+W)$ והשני מחייב לפי פונקציית דרישה עולה  כאשר

 הוא הדרישה, ו-  פרמטר קבוע. ההזמנה הראשונה מיוצרת במכונה הזולה ביותר וכן הלאה – כך נקבע המחיר. במקרה שלנו העלייה במחיר הינה לינארית. נסמן את  את כמות המוצרים שקמעונאי i יזמין מספק מספר 2 ולכן  יהיה הכמות שיוזמן מספק 1.

פונקציית העלות של הקמעונאי – בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח V=0 ו-W=1. פונקציית השירות נתונה בנוסחא 23. נגזרת פונקציית השירות נתונה בנוסחא 24. הנגזרת השנייה של פונקציית השירות נתונה בנוסחא 25.

שיווי משקל אופטימלי גלובלי – כאשר  פונקציית השירות הגלובלית נתונה בנוסחא 26.

מכאן נובע ש  אופטימלי גלובלי אם ורק אם  והפיתרון הגלובלי האופטימלי נתון בנוסחא 27. בפרט, עבור  נקבל  שהוא יהיה הפתרון הגלובלי האופטימלי. בנוסף, התנאי עבור שיווי משקל הוא שכל i=1,…,n יהיה שווה ל-0 (הצד הימני של נוסחא 24). עבור  התנאים הללו מבטיחים ש –  ו –  לכל i. ובגלל הקעירות נקבל שיווי משקל.

יישום תגמול לינארי – מיקוד במקרה שבו  ובפיתרון הגלובלי הסימטרי: . ננסח קבועים ע”י נוסחאות 3 ו-4 תוך כדי שימוש בנוסחא 23 – הקבועים נתונים בנוסחא 28. פונקציית היעילות של קמעונאי i נתון בנוסחא 29. תנאי הכרחי לקיום שיווי משקל נתון בנוסחא 30.אם נסכום את נוסחא 30 על פני i נקבל את התוצאה בנוסחא 31. ולכן קל לוודא ש  מהווה את פתרון שיווי המשקל.

תובנות ניהוליות

ללא תיאום, כל קמעונאי מקווה להשיג שיעור נוח מהספק השני ואת התוצאה המצטברת היא כי הוזמנה מהספק השני. מצב זה דומה לבעיית תחבורה עם נוסעים רבים אשר חייבים לבחור בין הליכה במסלול מסוים שאינו מושפע מעומס התנועה (כלומר, זמן נסיעה קבוע) או דרך מסלול שני שבו זמן הנסיעה עולה עם עומס התנועה עד שהוא מגיע לערכו הגרוע, השווה לזמן הנסיעה הקבוע של המסלול הראשון. ללא תיאום, הנוסעים יגיעו למסלול השני, דבר שיגרום לגודש ולאובדן הרווחים האפשריים מהפצת עומס התנועה על שני המסלולים.

תכנית התיאום במאמר זה היא, אפוא, במובן מסוים, אגרה המוטלת על כל נוסע שבוחר את המסלול השני. בהקשר זה, עם מטיילים באמצעות אסטרטגיות אקראיות, הניתוח מראה כי השימוש בניתוח עלות שולית, כדי לקבוע את ערכי האגרה, יחליף הפצה אופטימלית גלובלית של התנועה הסואנת ויהפוך אותה ליציבה. כלומר, לאף נוסע לא יהיה תמריץ לשנות את בחירת הנתיב שלו.

תיאום כמות קמעונאי-ספק הזמנת המחיר

ישנו יחס סטנדרטי בין קמעונאי לבין הספק. על הספק לקבוע את המחיר הסיטונאי ליחידה שהוא יחייב את הקמעונאי. בהתחשב במחיר הסיטונאי הפרמטרים של הביקוש האקראי למוצר אחד, הקמעונאי צריך להחליט כמה להזמין. השניים יכולים לפעול באופן עצמאי או לתאם את המהלכים שלהם במטרה להשיג ביצועים טובים יותר עבור שרשרת האספקה המשולבת המכילה את שניהם. זוהי מערכת אנכית טיפוסית. במאמר נבחן התיאום בין שתי הישויות במערכת.

המערכת היא כזאת- הקמעונאי עומד בפני ביקוש עבור המוצר היחיד עם פונקציית הפצה רציפה (F) ופונקצית הצפיפות. הקמעונאי מוכר את המוצרים במחיר ליחידה במחיר $ P, שאינו מושפע מרמת המכירות שלו. הקמעונאי קונה את הפריטים במחיר ליחידה ליחידה $ w מהספק, שמייצר את הפריטים במחיר ליחידה $ C. כאשר הספק והקמעונאי פועלים באופן עצמאי, C<W<P (אחרת לא יהיה תמריץ לספק לייצר ו / או עבור קמעונאי למכור). ישנה התמודדות עם נקודה אחת- כאשר הספק מודיע W, הקמעונאי קובע את כמות ההזמנה q,  הספק מייצר יחידות q ומוכר אותן לקמעונאי. הקמעונאי מוכר יחידות q או פחות (בהתאם למימוש הביקוש) ולשאר היחידות אין ערך ניצול.

הפחתת המודל להזמנה בודדת – בחירת כמות על ידי הקמעונאי

משתנה ההחלטה של הספק הוא המחיר שהוא גובה מהקמעונאי, ואילו משתנה ההחלטה של הקמעונאי הוא פונקציה אשר מפתחת את המחיר הנבחר של הספק לכמות ההזמנה. הרווחים הצפויים של הקמעונאי והספק נקבעים על ידי w ועל ידי כמות ההזמנה בפועל q של הקמעונאי הם ניתנים, בהתאמה, על ידי פונקציה מס’ 33.

בהתחשב במרחב הפעולה של הקמעונאי כמערכת של פונקציות מיפוי w לתוך q, הפונקציות היעילות של הקמעונאי והספק באות לידי ביטוי בפונקציה מס’ 34.

תפקוד נקרא מנוון אם הוא קבוע של בחירת המחיר של הספק.

פונקציית היעילות של הקמעונאי

פונקציית היעילות של הקמעונאי היא תוצאה מפונ’ 33 ו35

פונקציית היעילות של הספק

עם פונקציית השירות של הספק לפי פונקציה (33), טריוויאלי כי הוא קעור ב w. כמו כן, עבור q חיובי נתון, לנו מגיע למקסימום W=P ועבור q=0 ניתן לבחור W באופן שרירותי.

שיווי משקל אופטימלי גלובאלי

פונקציית הרווח נתונה על ידי נוסחה (36). מכיוון שu לא תלוי בW וגם המסקנה מנוסחה 35, ניתן להסיק שu  קעור ב(q,w). על מנת ש (q,w) יהווה פתרון אופטימלי גלובאלי, נדרוש ש F(q)=(p-c)/p. בלי הגבלות על W. הרווח האופטימלי הגלובאלי חיובי ולכן ההזמנה האופטימלית גדולה מכמות ההזמנות וזהו מצב אופטימלי עבור הקימעונאי.

יישום תגמול לינארי – נניח שקיים פיתרון אופטימלי לינארי . על מנת לפתח את התגמול הלינארי שנתון בנוסחאות 3 ו-4 – נשתמש בנוסחא 37.

התוצאה מוצגת בנוסחא 38.

שימוש בקבועים שמצאנו עבור ספק וקמעונאי –  ו-  ממיר את פונקציות היעילות שלהם (נוסחא 39 ו-40).

מכיוון שהרווח החדש בלתי תלוי בפעולה שהוא מבצע w.  הינו אופטימלי עבור הספק עם פעולה פוטנציאלית q של הקמעונאי. בפרט,  הינו אופטימלי אם הקמעונאי בוחר .

נקבל  מקסימילי עבור . לכן  מהווה פתרון שיווי משקל אופטימלי של שרשרת האספקה עם פונקציות היעילות השונות.

תכנית התיאום המוצעת יכולה להיות מיושמת רק אם הספק יתוגמל בגין חיובו של המשווק במחיר מינימאלי אפשרי. מאחר שהרווח הצפוי של הקמעונאי יגדל, יש צורך במנגנון שיתוף רווחים אשר יעביר חלק מהרווח הנוסף של הקמעונאי לספק. הסדרים כאלה אינם חדשים בפועל – למעשה, הם מצויים בדרך כלל בחוזי אספקה אמיתיים שבהם הצדדים הסכימו על התנאים על בסיס אינטואיציה או ניסיון העבר. הניתוח במאמר עשוי להועיל בהובלת הצדדים לפתרון האופטימלי הגלובלי.

לסיכום, מאמר זה עוסק באחת הסוגיות המרכזיות בניהול שרשרת האספקה – כיצד ליצור תיאום טוב יותר בין הגורמים השונים הממלאים תפקיד בשרשרת, בכדי לשפר את ביצועי המערכת. תרומתו העיקרית של המאמר טמונה בפיתוח מנגנון כללי המביא לתיאום אופטימלי באמצעות תגמולים ליניאריים וקנסות והוכחת תועלתו בהקשר של יחסי סוכנים בשרשרת האספקה.

מחקר עתידי עשוי להתפתח בכמה כיוונים. בשאלת חלוקת הרווח – כיצד להקצות בין הסוכנים את הרווח הנוסף שנצבר בעת המעבר מהתנהגות מבוזרת לביצועים אופטימליים. כמו כן, אחת ההנחות במאמר הייתה תנאי מידע מושלמים. במצבים רבים קשה לעקוב או לאמת את פעולות הסוכנים. לכן, יש צורך לפתח מנגנוני תיאום להגדרות מידע חלקיות. בנוסף, היה שימוש במחירים ליניאריים כדי להשיג יציבות ותיאום, אך השימוש בתגמולים ועונשים לא ליניאריים עשוי לאפשר לאדם לקבל מנגנון גמול / עונש אחיד על סוכנים לא סימטריים וללכוד תגובות למשתנים נצפים שמייצגים מידע חלקי. בנוסף, נבדקו רק ארבעה תרחישים ספציפיים. אפשר להסתכל על תרחישים אחרים המתוארים בספרות SCM וליישם את התהליך המוצג כאן. למעשה, כל ניסוח של מודל קבלת החלטות רב-תכליתי ב- SCM עשוי להיות מתאים ליישום של גמול / עונש ליניארי. לבסוף, ניתן להתמקד בתרחישים ספציפיים מהמערכת ולחקור אותם יותר לעומק.

כותבי המאמר טוענים שמאמרם מדגים את היישומים הפוטנציאליים של מודלים תיאורטיים ותוצאות בתחום SCM. המסגרת שלהם מתייחסת למשחקים שאינם משתפים פעולה (ומכאן, שיטת שיווי המשקל של נאש). גישות אחרות (למשל, מודלים להרכבת קואליציה במשחקים שיתופיים) עשויות להוביל לתוצאות מפיקות גם כאשר הן מיושמות על בעיות SCM.