A VAR MODEL AS RISK MANAGEMENT TOOL AND RISK ADJUSTED PERFORMANCE MEASURES

מודל VAR ככלי ניהול סיכונים ואמצעי ביצוע מותאמים לסיכון

Andrea CREMONINO, Marco GIORGINO

Department of Economics and Production, Politecnico di Milano

1. מודל

המודל שלנו מתבסס על המסגרת שלVaR (מודל זה ידוע בספרות, למשל Jorion (1995)  ו- J.P. Morgan (1995).).         

ההגדרה הרחבה ביותר של VaR היא תועלת הפסדים מרביים בשווי השוק של עמדה מסוימת שניתן לצפות שתווצר בטווח זמן מוגדר ברווח בר סמך.

או באמצעות נוסחאות מתמטיות:

MV0 * Prob (ΔV< – C)                                                                (I)

כאשר      C  רמת הפסדים קבועה,

          MV0   ערך שוק של העמדה.

הכמות שנבחרה מבטאת דרגת דחיית סיכון מכיוון שערכים גבוהים יותר תואמים לרווחי בר סמך עם רמת סמך גבוהה יותר, אך מזה נובע כמויות גדולות יותר של ספיגת הון. אגב, דחיית סיכון היא מרכיב של מדיניות תחרותית בחלק מהפעילויות או מגזרי השוק שכן בפעילות המסוכנת יש ספיגת הון שונה ולכן עלות שונה לפי כל מוסד.

אנו מניחים רמת סמך של 95% מכיוון שמודל זה משמש ככלי ניהולי, בו אנו צריכים לאמת את נכונות ההערכות[1].

באופן אינטואיטיבי VaR הוא פרופורציונאלי לרגישות העמדה (גורם אנדוגני) כפול תועלת תנודתיות גורם השוק העתידית (גורם אקסוגני).

שינוי בערך השוק נאמד בשיטות פרמטריות: שווי השוק של עמדה מתואר כפונקציה של רגישות העמדה למשתנים רלוונטיים (למשל, תשלומים, מחירים). שיטות אלה מכילות בעקיפין את ההשערה לפיה ניירות ערך הם ליניאריים, כלומר קצב שינוי ערכם קבוע כאשר משתנים פיננסיים משתנים (או שנוכל להשתמש בצורה פונקציונאלית לינארית).

על מנת לאמוד שונות עתידית, אנו מפתחים מודלים של משתנים פיננסיים רלוונטיים כמשתנים אקראיים המפולגים לפי התפלגות לוגנורמלית. זאת אומרת שתשואות לוגריתמיות ולא משתנים פיננסיים מפולגים נורמלית כיוון שלתשואות לוגריתמיות יש משמעות בזנב השלילי של ההתפלגות.

בחרנו בתשואות לוגריתמיות ולא תשואות אריתמטיות בגלל התכונות של סימטריה ותוספתיות של סדרות עתיות.

הודות להשערה הנ”ל, ניתן להציג את VaR כ-:

VaR = MV0×σ×φ-1(α)                                                                )II(

כאשר MV0 ערך שוק,

σ תנודתיות הכנסות,

α כמות שנבחרה.

נוסחה זו דורשה השערה בעקיפין כי הכנסה ממוצעת היא אפס: J.P. Morgan הניח אותה כי היא נתמכת בראיות אמפיריות, וכדי למנוע אי הבנה האם יש למרכז את ה- VaR בממוצע, כלומר

VaR = [μ – σ× φ-1(α)]× MV0                                                        )III(

כאשר μ הוא תועלת הכנסה.

אם ניקח בחשבון גם ממוצע, איננו יכולים לבטא ערך בהתפלגות מצטברת כפונקציה במשתנה אחד של סטיית התקן. יתר על כן, פירוש הדבר להתמקד בהסתברות של הפסד (המכונה סיכון שלילי). השערה זו מדויקת יותר ככל שאופק הזמן קצר יותר.

על מנת להעריך שונות אנו משתמשים בשיטה היסטורית במקום בתנודתיות הנובעת ממסחר מכיוון שאת השיטה הראשונה ניתן ליישם לכל פעילות ולא רק לניירות ערך הנסחרים, ומכיוון שראיות אמפיריות תומכות בתנודתיות היסטורית[2]. לפי הערכות היסטוריות, בחרנו בשיטת EWA   (Exponential Weighted Average),  מכיוון שהיא מייחסת ירידת משקל ירידה אקספוננציאלית לנתונים שהיו קודם. המשוואות האנליטיות בתנאי λ∈[0;1], הן:

                                                        (IV)

או באופן רקורסיבי

                                    )IV’)

אנו קובעים λ = 0.94 לשונות יומית מכיוון שערך זה ממקסם את פונקצית הסבירות(1995))   (RiskMetrics™ .

גורם דקומפוזיציה יחיד מספק שיטה פשוטה וקלה להבנה ומונע חוסר עקביות בין הערכות שונות (המעניקות אפשרות לבצע פירוק Cholesky  של מטריצת השונות) טוב יותר מאשר GARCH (1,1) [3]

בהערכת תנודתיות מסדרות עתיות אנו מניחים כי לנתונים אין מתאם עצמי באופן סדרתי, כלומר אין קשר בין תצפית לתצפית קודמת: זה מאפשר לאמוד את התנודתיות בטווח זמן מוגדר החל מסטיית התקן היומית, כפול שורש ריבועי של אורך התקופה. היתרון הוא לאמוד את התנודתיות ללא צורך לעדכן בסיסי נתונים ענקיים.

מדויק יותר לחשב את טווח הזמן כימי מסחר מכיוון שתנודתיות מתעוררת במסחר, כפי שעולה ממחקר אמפירי[4]. נציין כי הליך זה אומץ על ידי תקנת Basle. ההשערה שאין מתאם עצמי מספקת תמיכה קונצנפטואלית שלא לקחת בחשבון את התשואות הצפויות: מכיוון שהתשואות והתנודתיות הצפויות גדלות כזמן וכשורש הריבועי שלו, בהתאמה, בטווח הקצר התנודתיות הם גבוהים יותר.

בתור פרוקסי של סיכון נזילות אנו עשויים להשתמש בפיזור הצעת מחיר Cherubini (1995)) ) אך קשה מאוד לחשב זאת מכיוון שדרישות לנתונים גדלות באופן אקספוננציאלי; לפיכך אנו משתמשים בהיקפי עסקאות. למעשה סטיית התקן של נפח המסחר מדויקת יותר מכיוון שהיא עולה בקנה אחד עם המודל שפיתחנו. אנו מציינים כי ניתוח זה עשוי להיות לא תקין משום שהוא עוסק באפקט מיקרו טבע, כלומר פיזור נכס פיננסי אחד, עם פרמטר מאקרו, כלומר מיוחס לכל השוק.

[1] שאריות של 5% פירושן שעלינו לראות הפסד גדול יותר מאשר ההערכה בממוצע פעם אחת בעשרים יום, ואילו ברמה 99% פעם אחת במאה יום.

[2]  Jorion (1995)

[3] J. Boudoukh, M. Richardson, R. Stanton, R. Whitelaw [1995]

[4] Hull[1993]