Nonlinear dynamics analysis of the spur gear system for railway locomotive

ניתוח דינאמיקה לא-ליניארית של מערכת גלגלי שיניים בעלי שן ישרה עבור קטרים

תקציר

תוך התחשבות בגורמים כמו רתע לא-ליניארי, שגיאת תמסורת סטטית ונוקשות שילוב (mesh) תלוית זמן, פותח מודל רעידות פיתול בעל שלוש דרגות חופש של מערכת תמסורת גלגלי שיניים בעלי שן ישרה עבור קטר טיפוסי, שבו מומנט האדהזיה גלגל/מסילה מוגדר כפרמטר בלתי ודאי אך תחום. בו זמנית, שיטת אישיקווה משמשת לניתוח וחישוב נוקשות השילוב תלוית הזמן של זוג גלגלי השיניים בזמן תהליך השילוב. בעזרת דיאגראמות ביפורקציה, דיאגראמות מישור מופעים, מפות פואנקרה, דיאגראמות תגובת תחום הזמן וספקטרום אמפליטודה/תדירות, ההשפעות של מהירות ונוקשות הפיניון על ההתנהגות הדינאמית של תמסורת הקטר נחקרות באופן מפורט באמצעות שיטת האינטגרציה הנומרית. הדוגמאות הנומריות חושפות מספר סוגים של תופעות לא-ליניאריות ומנגנוני אבולוציה דינאמיים המערבים תגובות חד-מחזוריות, תגובות רב-מחזוריות, ביפורקציה ותגובות כאוטיות. חלק מתוצאות המחקר מציגות מידע מועיל עבור תכנון דינאמי ובקרת רעידות של מערכת התמסורת של קטרים.

1. הקדמה

מערכות תמסורת הן אחד המרכיבים העיקריים במערכת המכאנית של קטרים. בשל תנאי העבודה הקשים, כמו מהירות גבוהה, עומס כבד, קור קיצוני, אבק וכדומה, מערכות התמסורת של קטרים הן מועדות לנזק ולכן נחשבות כחלק הפגיע ביותר. בשל כך, חיוני לחקור את מנגנוני הכשל של התמסורת על ידי פיתוח מודלים דינאמיים אמינים של מערכת התמסורת. בהתאם לכך, ההתנהגות הדינאמית של התמסורת הינה אחד הנושאים המרכזיים בציוד סובב ומערכות העברת כוח. גם ניטור בריאות הרעידות וגם יכולת צפיית עייפות החומר של מערכת גלגלי שיניים נתונה מושפעים שניהם מההתנהגות הדינאמית של התמסורת.

עם התפתחותן של תיאוריות דינאמיקה לא-ליניארית, התכונות הלא-ליניאריות של מערכת התמסורת הפכו לתחום המחקר המעניין ביותר. לדוגמא, קאהרמן וסינג חקרו את הדינאמיקה הלא-ליניארית של זוג גלגלי שיניים בעלי שן ישרה באמצעות שיטת איזון הרמוני, כאשר הרתע מיוצג על ידי הרחבות של סדרה קטומה. לאו ועמיתיו הציעו שיטת סינתזה מודאלית של מערכת התמסורת תוך התחשבות בהשפעות הצימוד בין רעידות פיתול, צד וציר, אשר הודגמה באמצעות ניתוח 10 מצבי הרעידות הראשונים של תיבת הילוכי מטוס הליקלית בת 5 צירים, בעזרת תוכנת FEM. אמבילי ועמיתיו חקרו את תגובת המצב הקבוע והיציבות של מודל דרגת חופש אחת של זוג גלגלי שיניים בעלי שן ישרה, שבו שגיאות הילוך, נוקשות תלוית זמן וריסון נשקלו ביחס לנוקשות השילוב. בו זמנית, עקומות שינוי המפרידות בין אזורים יציבים ובלתי יציבים חושבו בעזרת דטרמיננטת היל אין-סופית. תאודוסיאדס ונטסיאבאס חקרו את הדינאמיקה הלא-ליניארית של מערכת זוגות גלגלי שיניים עם רתע, נוקשות שילוב תלוית זמן, שגיאת תמסורת סטטית ועירור חיצוני, שנגרמו בשל מומנט הפיתול ושגיאות מבנה התמסורת.

על מנת להמחיש את הפרמטרים החשובים על תגובת המערכת, סוגים מסוימים של דיאגראמות תגובה זוהו בעזרת מתודולוגיות מתאימות. בהתבסס על מודל מנגנוני אלמנט/מגע סופי, פארקר ועמיתיו חקרו תגובות דינאמיות של זוג גלגלי שיניים בעלי שן ישרה על פני טווח רחב של מהירויות ומומנטים של תפעול, והראו את היכולת של נוסחת מנגנוני אלמנט/מגע סופית דו-ממדית להדגים באופן מדויק את הדינאמיקה הלא-ליניארית המובהקת של מערכת גלגלי שיניים. אנדרסון ווודמר, תוך התחשבות במיקום הממשי של המגעים ובדפורמציות הממשיות של שיני הגלגל, הציגו שיטה לקביעת העומס הדינאמי בין שתי תמסורות הליקליות אלסטיות סובבות, ולצפיית ההתנהגות הדינאמית של מערכת גלגלי שיניים. בנוסף, הם הציגו נתונים המראים את התנהגות שגיאת התמסורת הדינאמית ואת שונות לחץ המגע. אל-שיאב וקאהרמן פיתחו מודל תלוי זמן דינאמי לא-ליניארי בכדי לחקור תנועות תת-הרמוניות וכאוטיות אותן מפגינה שרשרת גלגלי שיניים מרובת-שילוב טיפוסית. אותו מחקר תיאר בנוסף את ההשפעה של מספר פרמטרי מערכת, כמו אמפליטודות נוקשות שילוב חלופיות, ריסון שילוב גלגלי שיניים, ומומנט סטטי שהועבר על תנועות תת-הרמוניות. שן ועמיתיו השתמשו בשיטת האיזון ההרמוני הגדל (incremental harmonic balance method, IHBM) על מנת לנתח את הדינאמיקה הלא-ליניארית של מערכת גלגלי שיניים בעלי שן ישרה עם דרגת חופש אחת, כולל רתע, נוקשות תלוית זמן ושגיאת תמסורת סטטית. בנוסף, התגובה הכאוטית נחקרה באמצעות שיטת סימולציות נומריות.

וונג ועמיתיו פיתחו מודל דינאמי מוכלל של זוג גלגלי שיניים היפואידים שבו נכללו פרמטרי שילוב תלויי זמן ורתע לא-ליניארי. נחקרו גם תופעות לא-ליניאריות אחרות כמו תגובה מחזורית, כאוטיות וביפורקציה במערכת. בנוסף, החוקרים הציגו מודל תלוי זמן דינאמי לא-ליניארי של מערכת זו הכולל גלגלי שיניים היפואידים עם נוקשות שילוב לא-ליניארית תלוית זמן, ריסון שילוב ותכונות רתע, שנוסח על מנת לחקור את השפעת הא-סימטריות של נוקשות השילוב עבור צידי הנסיעה והגלישה על התגובה הדינאמית. צ’אנג-ג’יאן ועמיתיו חקרו תגובות דינאמיות של מערכת גלגלי שיניים בעלי שן ישרה בת דרגת חופש אחת עם מתלה לא-ליניארי ובלעדיו, ומצאו דינאמיקות כאוטיות ומחזוריות באמצעות דיאגראמות מופעים, ספקטרת כוח, מפות פואנקרה, אקספוננט ליאפונוב וממד פרקטלי בקרב המערכת. פרננדז ורינקון תיארו מודל מתקדם לניתוח כוחות מגע ודפורמציות בתמסורות גלגלי שיניים בעלי שן ישרה. המודל אושש באמצעות ניתוח דמוי-סטטי של דוגמא על מנת לדמות ולאמוד כיצד העוצמה של המומנט המועבר, החיכוך ומרחק המרכז המותאם משפיעים על שגיאת עומס התמסורת, נוקשות השילוב ויחס חלוקת העומס. ואיי ועמיתיו פיתחו מודל דינאמי בן שש דרגות חופש עם צימוד של תנועות ציר, פיתול וכיפוף במערכת תמסורת הליקלית, שכלל נוקשות שילוב תלוית זמן, נוקשות תמיכת מסבים, ריסון שילוב ורתע. לאחר מכן נותחו ההשפעות על שגיאות התמסורת הדינאמיות והיציבות שנגרמו על ידי יחס המגע, נוקשות התמיכה, ריסון השילוב והרתע.

פארשידיאנפר וסגאפי חקרו את הביפרוקציה ההומוקלינית הגלובאלית והמעבר להתנהגות כאוטית של מערכת גלגלי שיניים לא-ליניארית באמצעות שיטת מלניקוב. בנוסף, ניתוח הביפורקציה הנומרי והסימולציה הנומרית, כולל דיאגראמות ביפורקציה, מישור מופעים, היסטוריית זמן, ספקטרת כוח וחתכי פואנקרה, שימשו לאישוש התחזיות האנליטיות ולהדגמת המעבר לכאוס. וונג ועמיתיו ביססו מודל דינאמי של מערכת תמסורת גלגלי שיניים בעלי שן ישרה בת שלוש דרגות חופש על מנת לחקור את ההשפעות של הפרעות רנדומאליות עם עירור בתדר נמוך הנגרמות בשל שינויים במומנט, יחס ריסון גלגלי השיניים, רתע גלגלי השיניים, תדירות השילוב ונוקשות השילוב. החוקרים מצאו כי במערכת גלגלי שיניים עם ריווח לא-ליניארי מתקיימות תופעות עשירות של ביפורקציה בעלת מחזוריות כפולה. על מנת לחקור את תכונות הביפורקציה והכאוס של מערכת גלגלי השיניים תחת שינויים של צימודי הפרמטרים, גו ועמיתיו תכננו אלגוריתם המבוסס על שיטת מיפוי תאים פשוטה ואלגוריתם זמן בריחה (escape time) על מנת לבחון כל תא מצב ואת התכונות הדינאמיות של הצימוד הרב-פרמטרי במערכת גלגלי שיניים פיתול-רעידה. נמצא כי המסלול ההומוקליני בחלל המופע נגרם בשל ההצלבה של מסלולי התנועה המחזורית השונים במערכת לא-חלקה.

על סמך מחקרים אלו, הספרות מראה כי מודלים מתמטיים לא-ליניאריים רבים נבנו על מנת לנתח את דינאמיקת גלגלי השיניים, אך רק מספר מועט של מחקרים עסקו בהשפעות על תגובת התמסורת הדינאמית של קטרים. בהינתן תנאי העבודה הקשים הכוללים מהירויות גבוהות ועומסים כבדים, מערכת ההנעה של קטרים נושאת לעתים קרובות שינויי עומס בתדירות גבוהה הנוצרים בשל שילובי הילוכים בודדים או כפולים במהלך התפעול. חלק מהגורמים כוללים את השפעות העומס של תחילת תנועת הרכבת, הבלימה, החלפת הילוכים ופניות, והשפעות של עירור פנימי וחיצוני, העלולות לגרום לכשלים בתמסורת בשל הגורמים הלא-ליניאריים, כמו רתע ונוקשות שילוב תלוית זמן. נדרש מחקר מקיף ויסודי על מנת לחשוף את היחסים הפנימיים ולשפר את אמינות מערכת התמסורת. לשם כך, מודל רעידות פיתול עם דרגות חופש מרובות (MDOF) נגזר עבור קטר טיפוסי, שבו הפרמטרים השונים, כולל נוקשות השילוב, שגיאות תמסורת, ריסון השילוב ומומנט אדהזיה גלגל/מסילה, מוגדרים כפרמטרים בלתי ודאיים אך תחומים. ההשפעה של פרמטרים בלתי ודאיים אלו על התגובה הדינאמית מפורטים בהמשך. חלק מהתוצאות המחקריות יכולות לשמש כבסיס לתכנון דינאמי ובקרת רעידות של מערכת התמסורת של קטרים בעתיד.

2. מודל דינאמי של מערכת גלגלי שיניים בעלי שן ישרה

2.1 מודל מערכת תמסורת

תמסורת גלגלי שיניים בעלי שן ישרה עבור קטר טיפוסי, HXD, מורכבת בעיקרה מעוגן, זוג גלגלי שיניים בעלי שן ישרה וסט גלגלים. כפי שניתן לראות באיור 1, הפיניון מותקן ישירות על עוגן מנוע הגרירה, מה שמספק מומנט למערכת. גלגלי השיניים מורכבים על סט הגלגלים, המוגדרים בתור העומס המוטל על מערכת התמסורת. ניתן לפשט תמסורת מכאנית מסוג זה כפי שמוצג באיור 2.

במקרה זה T1 מתאר את המומנט המסופק על ידי עוגן המנוע תחת כוח מנוע הגרירה, המוגדר כקבוע, ו-T2 הוא מומנט העומס של מערכת התמסורת, הנגרם בשל גורם הגלגל/מסילה.

עבור נוחות החישוב, אנו מניחים כי הציר והמסב הם קשיחים, והפיניון וגלגלי השיניים גם הם קשיחים במודל, עם העתקים סובבים או מתורגמים בתור הקואורדינאטות שלהם. הניתוח הדינאמי מתבצע במישור זוג גלגלי השיניים, ולכן מתעלמים מכל תנועה חוץ-מישורית. מכיוון שהעירור מתרחש בעיקרו בקו הפעולה, הרעידות הרוחביות של זוג גלגלי השיניים בכיוון האנכי לקו הפעולה זוכות גם הן להתעלמות. שילוב גלגלי השיניים מתואר באמצעות רתע, נוקשות וריסון לאורך כיוון קו הפעולה, והסמלים בהם אנו משתמשים במחקר זה מתוארים במילון המושגים.

מכיוון ששגיאת התמסורת הסטטית היא קטנה ביותר, נתחשב רק במונח התנודה ea. כך, שגיאת התמסורת הסטטית e(t) מיוצגת על ידי (1): e(t) = ea cos(ωt).

אם הרתע הכולל הוא 2b, רתע התמסורת הלא-ליניארי בדרך כלל מאמץ את הביטוי הבא:

איור 1: סכמת מערכת התמסורת המכאנית של קטרי HXD.

מילון מושגים

b – מחצית מכלל הרתע של גלגלי השיניים.

c1 – ריסון מסבי הפיניון

c2 – ריסון מסבי גלגלי השיניים

cm – מקדם הריסון של שילוב גלגלי השיניים

e (t) – שגיאת תמסורת סטטית

T1 – מומנט התנועה הפועל על הפיניון

T2 – מומנט אדהזיה גלגל/מסילה

F1(t) – הכוח המועבר דרך הפיניון

F2(t) – הכוח המועבר דרך גלגלי השיניים

Fk(t) – כוח שילוב אלסטי

Fm(t) – כוח שילוב צמיגי

I1 – מומנט המסה של אינרציית הפיניון

I2 – מומנט המסה של אינרציית גלגלי השיניים

k1 – נוקשות מסבי הפיניון

k2 – נוקשות מסבי גלגלי השיניים

k (t) – נוקשות שילוב תלוית זמן

m1 – מסת הפיניון

m2 – מסת גלגלי השיניים

me – מסה שווה של זוג גלגלי השיניים

ƒ() – פונקצית העתק לא-ליניארית

ω – מהירות זוויתית של זוג גלגלי השיניים

τ – זמן לא-ממדי

R1 – רדיוס מעגל הבסיס של הפיניון

R2 – רדיוס מעגל הבסיס של גלגלי השיניים

θ1  – העתק סיבובי של הפיניון

θ2 – העתק סיבובי של גלגלי השיניים

y1 – העתק מתורגם של הפיניון

y2 – העתק מתורגם של גלגלי השיניים

z – מספר השיניים

x – מקדם המודיפיקציה

rb – רדיוס הבסיס

rf – רדיוס השורש

rff – רדיוס שורש אפקטיבי

ra – רדיוס קצה

rx – מרחק העומס ונקודת המרכז

α- זווית הלחץ

α’ – זווית השילוב

bm – רוחב השן

E – מודול יאנג

V – יחס פואסון

Fn – עומס במישור נורמאלי

Ω- מהירות סיבוב הפיניון

ωn – תדירות ניטראלית, ו- ωn =