שיווי משקל בתהליכי חידוש מלאי בשרשרת הספקה Equilibrium replenishment in a supply chain with a single distributor and multiple retailers

שיווי משקל בתהליכי חידוש מלאי בשרשרת הספקה הכוללת מפיץ אחיד ומספר קמעונאים

מאמר זה מטפל בבעית אספקה במוסדות שירותי בריאות בהספקה מחזורית. מספר ועיתוי הזמנות דחופות אינם מוגבלים. יש לבחור תקופת חידוש המלאי שממזער את עלות ההובלה. שרשרת הספקה כוללת קמעונאים אשר מגיבים על כל שינוי במדיניות חידוש העשוי להשפיע על עלות המלאי. זה מביא למשחק בין מנהל הספקה לקמעונאים. בגלל גודל הבעיה וסטוכסטיות משתמשים בגישה תיאורטית וניתוח אמפירי. משתמשים בשיווי משקל בתהליכי חידוש מלאי בשרשרת הספקה במוסדות מתן שירותי בריאות, והוא קרוב לפתרון נאש (Nash). ניתוח כמותי מראה כי עלות הובלה יורדת אם מנהל הספקה מיישם מנהיגות שלו פורמלי (Stackelberg) בעזרת הפחתת תקופת חידוש. אפשר להוריד הוצאות עוד יותר בעזרת הגדלת תקופת חידוש אם השרשרת בעלת אינטגרציה אנוכית או הצדדים משתפים פעולה.

1. הקדמה

שרשרת הספקה כוללת מפיץ אחיד ומספר קמעונאים. שני מצבי האספקה, קבוע ודחוף. קמעונאי מזמין במרווחי זמן קבועים שהוטלו על ידי המפיץ. המלאי נבדק ומתחדש באופן מחזורי. במקרה מחסור הקמעונאי יכול לבצע הזמנות דרך מצב דחוף. לספק יש קיבולת מספקת, עלות המלאי קבועה לא תלויה ברמת המלאי. עלות ההובלה של הספק תלויה במדיניות המלאי של הקמעונאי. הספק מבקש למצוא תקופת חידוש למזער את עלות ההובלה. הקמעונאי מעונייI לצמצם את עלות המלאי. מצב זה מתואר באופן טבעי על ידי תורת המשחקים כאשר הספק מתחרה עם הקמעונאים.

1. דוגמה ממריצה

תיאור כמותי של קופת החולים כללית מבחינת שאלת המחקר – שרשרת הספקה, בתי  מרקחת.

1. סקר ספרות

בחירת מדיניות הסקירה תלויה בעלויות ובשיקולים מעשיים וארגוניים (מקורות).

רוב המאמרים העוסקים בסקירה תקופתית מניחי כי תקופת הסקירה נקבעת מראש (מקורות).

מפיקים מדיניות הזמנות אופטימלית רק כאשר זמני ההובלה הרגילה והחירום שונים ביחידה אחת. מניחים תקופת סקירה גדולה יחסית שנקבעה מראש. (זה נכון גם במחקר שלנו בגלל שקמעונאים קרובים לספק). גם מניחים כי זמן הובלה יכול להיות קצר יותר מאשר תקופת הסקירה. הזמנות דחופות מגיעות מייד, זמן הובלת הזמנות רגילות שווה 1. מדד יעילות – עלות צפויה כוללת. במחקרים אלה מספר הזמנות דחופות מוגבל – 1 או 2 בתקופת סקירה. שילוב בין גישה של תורת המשחקים לבין מחקר אמפירי מאפשר מספר בלתי מוגבל של הזמנות דחופות. למיטב ידיעתנו, אין מחקרים המתיחסים לתקופת סקירה אופטימלית לשני מצבי האספקה. אנחנו עושים אופטימיזציה של תקופת חידוש מלאי בגישה של תורת המשחקים כדי להתייחס למטרות סותרות של הספק ושל קמעונאים רבים. במשחק זה הספק הוא מנהיג המגדיר את אורך תקופת הסקירה T. הקמעונאים מגיבים בכמויות הזמנות רגילות ודחופות. בתורת המשחקים משתמשים הרבה בניהול שרשרות אספקה. אבל רק מעט מאמרים עוסקים עם שרשרות אספקה הכוללות קמעונאים רבים.

אנו מתמקדים בתקופת תחליף ולא באופן משלוח. אנחנו מראים כי תקופת תחליף קצרה יותר כאשר (i) הספק הוא מנהיג, כלומר משתמש באסטרטגיה של  Stackelberg, ו-(ii) עלות הובלה וגמישות עלות הובלה ביחס תקופת תחליף, עולות. הוכחות מתמטיות המצאות בנספח.

1. ניסוח הבעיה

מרכז הספקה עם מחסן גדול מספק מוצרים ל-N קמעונאים בכל תקופת תחליף t עם אורך T. המחסן אינו מלא כל עוד עלות הטיפול במלאי הינה זניחה ביחס לעלות קבועה של אחזקת המחסן. עלות הובלה לקמעונאים בתקופה T, C(T, Qt ),, משמעותית ותלויה רק בספק. כאן  

 – הזמנה רגילה של קמעונאי n,  

הזמנות דחופות תלויות הן ב-T והן ב- . זה משפיע על , ונחקור את זה באופן אמפירי.

אנו משתמשים בהזמנה כללית של כל הפרטים של הקמעונאי n, , במונחי ביטוי כספי. בנוסף להזמנות רגילות, הספק מאפשר הזמנות מיוחדות במקרה דחוף. זה משפיע על עלות הובלה של הספק, . כלומר, עליה באורך התקופה T או הפחתת תדירות של הספקה מביאות לירידה בעלות הובלה של הזמנות רגילות. כתוצאה, למרות ששרשרת אספקה ריכוזית, המצב משקף משחק קלסי לא קואופרטיבי בו הספק הוא מנהיג שקובע T, והקמעונאים מגיבים בהזמנות רגילות ודחופות. אסטרטגיה של הספק במשחק זה היא פתרון .

1. בעית הספק

למזער עלות הובלה צפויה ביחידת זמן (הנוסחה 1).

אורך התקופה T אינה תלויה ב- t כי הספק מאמץ מדיניות סקירה בתקופות שוות.

1.  בעית הקמעונאי

נסמן  ביקוש הקמעונאי n ביחידת זמן i בתקופה t. הביקוש אקראי עם פונקצית צפיפות

 ופונקציית התפלגות מצטברת  עם ממוצע  וסטיית תקן . נסמן ביקוש ל- T יחידות זמן בתקופה t (הנוסחה 2).

בעיית הקמעונאי n היא למזער עלות מלאי צפויה ליחידת זמן (הנוסחה 3).

הדינמיקה של המלאי מתוארת על ידי משוואת האיזון (הנוסחה 4).

למטה נגזור אסטרטגיה  בעזרת פתרון בעיית הקמעונאי והצבת הפתרון בבעיית הספק כדי למצוא שיווי משקל בתהליך תחליף.

1. תגובת קמעונאי אופטימלית

לפי אסטרטגית  תגובה אופטימלית של הקמעונאי – חישוב תוחלת ב-(3) (הנוסחה 5).

משתמשים בתנאי סדר ראשון ב- (5) וגוזרים מדניות אופטימלית לתקופה אחת(הנוסחה 6).

ערך מלאי הבסיס   מחושב (הנוסחה 7).

משפט 1. מדיניות מיופיק יציבה מבוססת של מלאי הבסיס עם מלאי בסיס   אופטימלית לבעייה רב תקופתית (3-4).

לאחר מכן קובעים תגובה אופטימלית של הקמעונאי n, לכל תקופת תחליף T.

1. אסטרטגיה

הזמנות קמעונאים דטרמיניסטיות בתקופה הראשונה: מ-(3) נמצא (נוסחה 8). ההתפלגות של סך ההזמנות ניתן לקבוע בעזרת המשפט 1 (נוסחאות 9, 10). שיווי משקל מתקבל בהנחה כי  תלוי ב-T  וביישום תנאי מסדר ראשון ביחס ל- T (נוסחה 11).

משפט 2. אם  ו-  אזי תקופת התחליף  ורמת מלאי בסיס

עם כמות ההזמנה  נתן שיווי משקל

 יחיד של משחק חידוש המלאה ספק/קמעונאי.

1. אסטרטגיה נאש

כדי להשוות השפת מנהיגות על המשחק בין הצדדים בשרשרת האספקה, אנו ממניחים כי אין מנהיג במשחק. מכאן נובע כי הספק והקמעונאי עושים את ההחלטות שלהם בו זמנית כך שבניגוד לאסטרטגיית  פונקציית מטרה של הספק (1) מקבלת ערך מינימלי כאילו כמות כללית של הזמנה והצפיפת שלה אינן תלויות ב- T. נשתמש בתנאי מסדר ראשון ב-(10) ונקבל (נוסחה 12).

משפט 3. אם , ו-  אזי תקופת חידוש מלאי  ורמת מלאי בסיס

, עם כמות ההזמנה  מהווה שיווי משקל נאש במשחק חידוש מלאי של הספק/קמעונאי.

1. תוצאות תיאורטיות עבור התפלגות נורמלית של הדרישה

אופטימיזציה של תגובות קמעונאים. הנחה על נורמליות התפלגות ביקוש בהנחה כי ממוצע גדולה פי 3 מסטיית תקן. פונקציות צפיפות והתפלגות מצטברת. הזמנה סה”כ אופטימלית נורמלית.

טענה 1.  פונקצית צפיפות נורמלית עם ממוצע  וסטיית תקן . אזי יותר גדולה תקופת חידוש מלאי T, יותר קטנה עלות מ לאי של הקמעונאי צפויה ליחידת זמן, , כך ש- ו- . עכשיו נניח עלות הספק , תגובה אופטימלית של הספק, , ושל הקמעונאי n :

טענה 2. יהי  פונקציית צפיפות נורמלית עם ממוצע  סטיית תקן . אזי עלות קמעונאים ותגובת הספק האופטימלית אינן תלויות ברמת מלאי בסיס של הקמעונאי n.  מצד אחר, התגובה הטובה ביותר של הקמעונאי n תלויה בתקופת חידוש מלאי: ככל שהתקופה T ארוכה יותר, כך גדולה יותר רמת מלאי הבסיס.

המסקנה – אם לשרשרת האספקה יש אינטגרציה אנכית עם מקבל החלטות אחראי הן על תקופת חידוש מלאי והן רמת מלאי בסיס לכל קמעונאי, אזי פונקצית מטרה מרכזית היא (נוסחה).

טענה 3. יהי , ו-  פונקצית צפיפות נורמלית עם ממוצע  וסטיית תקן

תקופת חידוש מלאי אופטימלית למערכת כולה ורמת מלאי בסיס גדולות מתקופת נאש של חידוש מלאי ורמת מלאי בסיס, בהתאם.

הטענה 3 תומכת בעובדה ידועה כי תחרות אנכית מביאה לירידה בביצועים בשרשרת האספקה.

טענה 4. יהי  פונקצית צפיפות נורמלית עם ממוצע  וסטיית תקן .שיווי המשקל נאש  ההוגדר במשפט 3 הוא יחיד.

1. תוצאות אמפיריות וניתוח נומרי

1. ביטוי לשיווי משקל בצורה סגורה תחת ביקוש נורמלי (נוסחאות 15, 16).

(15) ו- (16) נחקרו למטה בצורה נומרית.

1. תוצאות אמפיריות

עלות הובלה קיבלנו במדגם מ-16 בתי מרקחת אשר מקבלים מוצרים כל 14 ימים. הזממנות מחושבות בתוכנת מחשב. במקרה של מחסור בית מרקחת יכול להגיש הזמנה דחופה.

קבלן חיצוני מביא הזמנות לבתי מרקחת. עלות הובלה תלויה בסוג רכב ובמספר בתי מרקחת. תקופת חידוש מלאי הייתה 2 שבועות במקור ו-3 ו- 4 שבועות בפתרון. סה”כ 18 תקופות חידוש בתוך 34 שבועות עבודה. מכירה בחודש בבתי המרקחת השתנו מ- 200 ל-544 א. ש”ח.

1. ניתוח נומרי

בחינת אפשרות חיזוי השרשרת בעזרת שיווי משקל איך זה מושפע ע”י מנהיגות הספק. משווים פונקציות מטרה וערכים ב- (1) ו- (3) ומשתמשים במשפטים 2 ו- 3. עלות צפויה של הספק n בתנאי מנהיגות קמעונאי (למקרים ללא ועם מנהיגות). שיווי משקל של כללית נמצא בין שיווי משקל  ונאש. באיור 1 מוצגות מצבי שיוו משקל על טווח פונקצית עלות הובלה של הקמעונאי.

שיווי משקל  מראה כוח קמעונאי כמנהיג. תוצאות אופטימיזציה, כסף ואורך תקופות. באיור 2 מוצגות תוצאות לשרשרת ההספקה כולה שכולל עלות ניהול מלאי ועלות הובלה.

איור 1. עלות הובלה של הספק כפונקציה של זמן (בימים), אורך תקופות חידוש מלאי.

איור 2. עלות שרשרת האספקה.

באיור 2 עלות אסטרטגיות , שוטפת, ונאש, ופתרון אופטימלי של המערכת כולה מופיעים כנקודות על עקום עלות כוללת. רואים השפעה של עלות מלאי על ביצועים של המערכת.

1.  ניתוח רגישות

רגישות של עלות הובלה ביחס לתקופת חידוש מלאי – תיאור מתמטי והסבר.

 איור 3. ניתוח רגישות: b כפונקציה של  ו- .

1. תוצאות אמפיריות וניתוח נומרי

המחקר מונע על ידי עלות הובלה גבוהה במערכת בריאות. זה קשור למספר הזמנות דחופות לא מוגבל. גישה ניהולית לטיפול בבעיה כוללת ירידה בתקופת חידוש ושינוי מדיניות.

במקרה התפלגות ביקוש נורמלית עלות מלאי של הקמעונאי ליחידת זמן היא פונקציה מונוטונית יורדת של תקופת חידוש מלאי. השתמשנו בגישה של תורת המשחקים ומצאנו כי עלות הספק ותגובתו האופטימלית אינן תלויות ברמת מלאי בסיס של הקמעונאי.

השתמשנו בתורת המשחקים ובניתוח אמפירי. פותחו ביטויים בצורה סגורה לפתרונות נאש ו- . אם הספק פועל כמנהיג בשרשרת האספקה (כמנהיג  ) אזי תקופת חידוש המלאי קטנה. העלות צריכה להיות גבוהה יותר כדי שהספק ישנה את מדיניות הסקירה מתקופתית לרציפה. במקרה של אינטגרציה אנכות או שיתוף פעולה של הצדדים, האפשרות לחסוך עלות גדולה יותר. תקופת חידוש המלאי עולה לתקופה אופטימלית של המערכת כולה. לטווח קצר מנהיגות וקיצור תקופת חידוש מלאי חוסך עלות הובלה. בטווח ארוך ניתן לחסוך יותר אם קמעונאים מקבלים את גישת ניהול מלאי על ידי הספק. מרכז הפצה יחליט מתי ואיך לחדש מלאי.