A case study of pedagogy of mathematics support tutors without a background in mathematics edu

מקרה בוחן של הפדגוגיה של מתרגלי מתמטיקה ללא רקע בחינוך מתמטי

תקציר

מחקר זה בוחן את הידע והכישורים הפדגוגיים של שלושה מתרגלי מתמטיקה בהשכלה הגבוהה, במסגרת של הוראה בכיתה גדולה. המחקר מתבסס על ניתוח סרטוני וידאו ומסגרת תיאורטית הכוללת את רביעיית הידע של רולנד וידע פדגוגי כללי נוסף. המחקר מציג ממצאים הנוגעים לאופן הגשת הסיוע המתמטי של מתרגלים אלו לסטודנטים להנדסה בשנה א’ ו- ב’, ולסטודנטים למדעים בשנה ב’. נמצא כי המתרגלים חסרים כישורים פדגוגיים שונים הדרושים ללמידה איכותית בקרב סטודנטים הלומדים מתמטיקה בסיסית (הנדסה/מדעים/טכנולוגיה) (service mathematics), אוכלוסייה המחזיקה בכישורים מתמטיים נמוכים יחסית בעת כניסתה לאוניברסיטה. המתרגלים העבירו את שיעורי התמיכה שלהם באופן דידקטי ומהיר, ללא מתן הזדמנות מספקת לסטודנטים להעלות שאלות או לפתור בעיות. בנוסף, נמצא כי שיטת הוראה זו בולטת אף יותר בשיעורי החובה המחלקתיים שסטודנטים משתתפים בהם כחלק מלימודי המתמטיקה האוניברסיטאיים שלהם. נערוך בנוסף דיון לגבי ההשלכות של ממצאים אלו בכל הנוגע להכשרת מתרגלי מתמטיקה ברמת ההשכלה הגבוהה.

1. מבוא

שירותי התמיכה בלימודי מתמטיקה (MLS) הפכו לסטנדרטיים במוסדות הלימודים העל-תיכוניים באירלנד ובריטניה ב- 15 השנים האחרונות, כאשר בערך 85% ממוסדות ההשכלה הגבוהה (אוניברסיטאות, מוסדות טכנולוגיים) מציעים כיום סוג כזה או אחר של תמיכה מתמטית. שירותים אלו התפתחו כתגובה להתדרדרות בסטנדרטים המתמטיים של הסטודנטים, בעת תחילת הלימודים הגבוהים שלהם. למרות הזמינות של שירותי MLS עבור הסטודנטים, לא תמיד הם בוחרים להיעזר בשירותים אלו באופן עקבי.

2. הקשר ורקע

חלק משירותי התמיכה המתמטית המוצעים על ידי מרכז לימודי המתמטיקה (MLC) במוסד בו נערך מחקר זה הינם:

* מרכז תמיכה קבוע: פתוח 20 שעות בשבוע. הסטודנטים יכולים להתקשר בכל עת ולבקש עזרה פרטית בלימודי המתמטיקה שלהם.

* תרגולי עזר: שעה אחת בשבוע בשעות הערב (6-7), עבור כל מודול מתמטיקה בסיסית (כלומר, מודולים של סטודנטים שהתואר שלהם אינו במתמטיקה). סטודנטים מכל מודול יכולים להשתתף בשיעורי העזר, בהם המתרגל מעביר את התכנים בקצב איטי יותר מההרצאות/תרגולים הרגילים.

* קורס מכינה: תוכנית אינטנסיבית בת שבועיים, המיועדת לסייע לסטודנטים מבוגרים (≥ 23) במעבר ללימודי מתמטיקה על-תיכונית.

למרות שהמשאבים זמינים והשתתפות הסטודנטים היא עקבית (כ- 7000 שימושים בשירותי ה- MLC כל שנה, בהתבסס על נתוני הנוכחות של הסטודנטים), הסטנדרטים של ההוראה במרכז אינם ברורים. מצאנו כי תחום זה טרם נחקר במידה מספקת בכל הנוגע לשירותי MLS, כאשר המחקר המועט בנושא מראה רק כי עוזרי ההוראה עובדים עבור מחלקת המתמטיקה, או כי הם לומדים לתואר מתקדם במתמטיקה, אך לא כלל מידע לגבי הרקע או כישורי ההוראה של מתרגל זה או אחר. ה- MLC בו נערך מחקר זה העסיק 14 חברי סגל בזמן המחקר, שכללו:

* מתרגל אחד עם PhD בחינוך מתמטי (BA בלימודי מתמטיקה ואנגלית).

* שני מתרגלים שהועסקו במשרה מלאה כסטודנטים הלומדים ל- PhD בחינוך מתמטי (1 BSc בחינוך גופני ומתמטיקה; 1 BSc במדעי המתמטיקה ו- HDip בהוראת מתמטיקה).

* ארבעה סטודנטים לתואר שני במידול מתמטי (3 BSc במדעי המתמטיקה; 1 BSc בחינוך גופני ומתמטיקה).

* סטודנט אחד הלומד ל- PhD במתמטיקה (BSc בהנדסת מבנים ו- MSc במידול מתמטי).

* שני סטודנטים הלומדים ל- PhD בסטטיסטיקה (2 BSc במדעי המתמטיקה).

* שני סטודנטים לתואר ראשון בשנה האחרונה ללימודיהם (1 מדעי המתמטיקה; 1 הנדסת מכונות).

* סטודנט אחד לתואר מתקדם ברפואה (רקע של BSc במדעי המתמטיקה, MSc במידול מתמטי).

* מתרגל חיצוני אחד העובד במשרה חלקית (רקע של BSc במדעי המתמטיקה).

מרבית התמיכה שסופקה הייתה עבור סטודנטים הנמצאים ב”סיכון” של כישלון בלימודי המתמטיקה הבסיסית. סטודנטים אלו מתקשים במעבר ללימודים גבוהים בתחום המתמטיקה מכיוון שהמושגים בהם הם נתקלים הם מופשטים מדי, רמת ההבנה המושגית הנדרשת מהם היא גבוהה מדי, ושיטות ההוראה המיושמות וסגנון הלמידה הנדרש הם שונים ביותר מהניסיון הקודם שלהם, וכמובן, לעתים קרובות הידע שלהם לגבי הטרמינולוגיה והסמלים המתמטיים הוא שגוי ומוגבל.

כאשר שוקלים את הרקע של סטודנטים אלו, חיוני כי הם יזכו להוראה מצד מדריך המסוגל להפוך את הידע שלו/שלה למידע אותו התלמידים יכולים להבין. תנאי זה חשוב אף יותר במקרה של תמיכה מתמטית, מכיוון שהסטודנטים המשתתפים בשיעורים אלו עושים זאת כתוצאה מקשיים נכבדים בהבנת החומר הנלמד, כשחלק מהסטודנטים המשתתפים בשיעורים אלו הצהירו כי הם מצאו את החומר “בלתי אפשרי”. אחד המחקרים שנערכו באירלנד ציטט את אחד הסטודנטים שנעזרו ב- MLS, באומרו כי “חלק מעוזרי ההוראה במרכז טובים מאוד בהבנת מתמטיקה, אך אינם טובים בללמד אותה”. המסר של ציטוט זה עומד מאחורי המוטיבציה לעריכת המחקר הנוכחי.

מחקר זה מנתח את הכישורים הפדגוגיים של שלושה מתרגלים המעבירים שיעורי עזר במתמטיקה ללא רקע בחינוך מתמטי, כשכל אחד מהם מלמד שעה אחת בשבוע של תרגול עזר. בנוסף, נדון בהשלכות של ממצאי המחקר בכל הנוגע להכשרת מתרגלים של לימודי מתמטיקה על-תיכוניים. בעוד שמחקר כולל בחינה של השינויים שהתרחשו לאחר שהמתרגלים ניתחו את תיעוד הוידיאו של השיעורים שלהם, כולל משוב מצד החוקרים, נושא זה נידון במלואו במחקר אחר. מאמר זה דן בשאלות המחקר הבאות:

* מהו הידע הפדגוגי המתמטי התוכני והידע הפדגוגי הכללי של מתרגלי המתמטיקה הבסיסית?

* מהן ההשלכות לגבי הכשרת מתרגלים בתחום המתמטיקה בהשכלה הגבוהה?

3. מסגרת תיאורטית

3.1. הנימוקים לידע פדגוגי תוכני

שני מתרגלים (שניהם מחזיקים ב- BSc במדעי המתמטיקה ו- MSc במידול מתמטי) לקחו חלק במחקר פיילוט תצפיתי שנה אחת לפני עריכת המחקר הנוכחי. המסגרת התיאורטית של מחקר זה פותחה תוך היעזרות בגישת תיאוריה מעוגנת לצורך ניתוח נתוני מחקר הפיילוט. נתוני מחקר הפיילוט התבססו על שתי עמודות בהן השתמש החוקר, כמומחה חיצוני, כדי לספק משוב למתרגלים: “נקודות חיוביות” ו”שיקולם עתידיים”. משתתפי הפיילוט קיבלו משוב על סמך עמודות אלו. יישום גישת התיאוריה המעוגנת לגבי נתוני הפיילוט הפיק שני תחומי משוב הדרושים לשיפור ההוראה של המתרגלים. תחומים אלו היו “ידע מתמטי פדגוגי תוכני” (MPCK) ו”ידע פדגוגי כללי” (GPK). ידע פדגוגי תוכני (PCK) פירושו “צורות הייצוג היעילות ביותר של רעיונות מתמטיים אלו, האנלוגיות, ההדמיות, הדוגמאות, ההסברים וההדגמות החזקות ביותר” המאפשרות למורה המתמטיקה להעביר תכנים מתמטיים (כלומר, הידע האישי של המורה לגבי החומר (ידע דיסציפלינארי, SMK)) בצורה האפקטיבית ביותר. במילים אחרות, ה- SMK אינו מספיק על מנת ללמד מתמטיקה באופן אפקטיבי. מצב זה בולט ביותר כאשר סטודנטים המתחילים את לימודי ההשכלה הגבוהה שלהם מחזיקים בידע מתמטי דל. למרות שקיימת הסכמה חד משמעית בתחום חקר החינוך המתמטי לגבי שני תחומים הכרוכים בידע מתמטי להוראה (MKT), שהם SMK ו- PCK, מחקר הפיילוט הראה כי מתרגלים עם רקע במדעי המתמטיקה ומידול מתמטי מחזיקים בכמות מספקת של SMK פרוצדוראלי לצורך הוראת מתמטיקה בסיסית. עם זאת, אף אחד מהמתרגלים לא ערך מחקרים כלשהם הנוגעים לפדגוגיה, בין אם מדובר במחקרים הקשורים במתמטיקה או בנושאים אחרים. לצד PCK ספציפי למתמטיקה (לדוגמא, ידע לגבי האופן בו תלמידים לומדים מתמטיקה) מחקר הפיילוט הצביע בנוסף של הצורך במשוב לגבי GPK עבור המתרגלים. המחבר מגדיר GPK בתור הכישורים הנחוצים למורה, שאינם קשורים לנושא הספציפי אותו הוא מלמד. הדוגמאות כוללות עבודה על הלוח, מיומנות במענה על שאלות, ניהול הכיתה וכדומה.

מחבר המחקר ביסס את אספקט ה- MPCK של המסגרת התיאורטית על רביעיית הידע של רולנד. למרות שקיימים מודלים מוכרים אחרים של MPCK  המיושמים בחינוך היסודי והתיכוני, אלמנטים מסוימים של ידע המורה כמו “ידע לגבי תוכנית הלימודים” אינם מהווים חלק מרכזי במידה דומה לחינוך התיכוני, מכיוון שהסילבוסים של המתמטיקה הגבוהה הם לרוב נבדלים ממודולים אחרים, והמתרגלים בדרך כלל פועלים על סמך המבנה אותו מתווה המרצה של המודול. תחומי הטרנספורמציה, החיבור והתליות של רולנד עוסקים פחות במבנים חינוכיים ומתמקדים בעיקר בפרקטיקת ההוראה עצמה, כלומר הם מתאימים יותר לשיעורי עזר במתמטיקה מתקדמת, בעוד שתחום היסוד שלו מאפשר בנוסף ניתוח של SMK.

3.2. רביעיית הידע של רולנד

רביעיית הידע של רולנד מבוססת של עבודתו של שולמן, ומקבצת את ה- SMK וה- PCK של מורי המתמטיקה תחת ארבעה תחומים. אלו מתוארים בתור:

* יסוד (foundation): האמונות או הידע המתמטי התיאורטי של המורה. הידע המתמטי והאמונות לגבי הוראה בהם מחזיק המורה, מהווים את הגורם המכריע לגבי כל ההחלטות והפעולות הפדגוגיות אותן הוא מיישם בכיתה. כל אחד משלושת התחומים האחרים של רביעיית הידע נובעים מהרקע היסודי בו מחזיק האדם.

* טרנספורמציה (transformation): תכנון התוכן והוראתו. אספקט זה של רביעיית הידע מיישם את אספקט היסוד שהוזכר מעלה בכדי לאפשר למורים להתאים את הידע התוכני שלהם (או ידע היסוד שלהם) לפעולות פדגוגיות אפקטיביות ומשמעותיות הכרוכות בתכנון והוראה. בנוסף, שלב הטרנספורמציה של רביעיית הידע קשור בעבודתו של שולמן בכל הנוגע לרעיונות, האנלוגיות, ההדמיות, הדוגמאות, ההסברים וההדגמות בהם בוחר המורה להשתמש. תהליך זה יוצר הבדלה בין מורה למתמטיקה לבין מתמטיקאי. עוזרי הוראה בהשכלה הגבוהה צריכים תחום זה על מנת לבצע את עבודתם כהלכה. התהליך של אמירת מתמטיקה לתלמידים אינו מספיק, מכיוון שמורים אלו נדרשים ללמד מתמטיקה.

* חיבור (connection): השילוב של בחירות והחלטות ספציפיות “הננקטות עבור החלקים היותר או פחות דיסקרטיים של התכנים המתמטיים”. רולנד ועמיתיו מדגישים שתי מילים הנוגעות לתחום זה של רביעיית הידע, “קוהרנטיות”, ובתוך הקוהרנטיות, “ריצוף” (sequencing). קוהרנטיות נוגעת לאופי הקוהרנטי של התכנון וההוראה בשיעור, או במספר שיעורים (כמו לדוגמא בסכמה של עבודה). ריצוף מהווה חלק ממסגרת הקוהרנטיות, ופירושו רצף הנושאים הנכללים במהלך השיעורים וביניהם, כמו לדוגמא סדר המטלות והתרגולים.

* תליות (contingency): היכולת לחשוב בזמן-אמת, לפי רולנד ועמיתיו. במילים אחרות, מדובר ביכולת של המורה להגיב לאירועים המתרחשים בכיתה שאינם חלק מתכנית השיעור. לדוגמא, כאשר תלמיד מעלה שאלה ללא תשובה מוכנה מראש מצד המורה.

איור 1: המסגרת התיאורטית של רביעיית הידע של רולנד ו- GPK.

3.3. מסגרת תיאורטית

על בסיס מבחני הפיילוט, החוקר זיהה שני עמודי תווך הנחוצים לפיתוח כישורי ההוראה של מתרגלים (איור 1). למרות שקייזר ועמיתיו מציינים את האספקטים הקוגניטיביים של מורים לעתיד (הדומים במידה רבה לדגימה שלנו) בתור ידע מתמטי תוכני (MCK), MPCK ו- GPK, בנוסף לאמונות המקצועיות של המורים, מחקר זה מתמקד רק ב- MPCK ו- GPK. עם זאת, מכיוון שה- MPCK של המתרגלים ינותח על סמך רביעיית הידע של רולנד, הוא כולל גם את ה- MCK ואת האמונות המקצועיות כחלק מתחום היסוד של רולנד.

מבחני הפיילוט מצאו כי קיים חוסר ב- GPK בכישוריהם של המתרגלים. תחום ידע זה נוגע לכישורי הוראה כלליים מוצלחים, ללא קשר לנושא הספציפי אותו מלמד המורה. לדוגמא, לוח מאורגן היטב, כישורי מענה טובים, מיקום נכון בכיתה (ללא הסתרה של הלוח), קול ברור וחזק וכן הלאה. כישורי הוראה אלו, כפי שהתגלה במחני הפיילוט, נדרשים לעמוד במרכז המשוב הניתן למתרגלים, מכיוון שהפיילוט הראה כי המשתתפים לוקים במיומנויות אלו.

4. שיטות

4.1. דגימה

המשתתפים במחקר החזיקו בהישגים הבאים:

* נואל (שם בדוי) החזיק בתואר בהנדסת מבנים ו- MSc במידול מתמטי. הוא ערך מחקר PhD במתמטיקה במהלך מחקר זה. נואל הועסק בנוסף כמתרגל עבור מחלקת המתמטיקה והסטטיסטיקה של האוניברסיטה. נואל היה אחד ממשתתפי מחקר הפיילוט. התצפיות בנואל נערכו כאשר הוא לימד סטודנטים שנה א’ לתואר ראשון בהנדסה. הנושא העיקרי אותו למדו היה אינטגרציה.

* טוני (שם בדוי) החזיק בתואר במדעי המתמטיקה ו- MSc במידול מתמטי. הוא עסק בלימודי רפואה לבעלי תואר ראשון בזמן מחקר זה. התצפיות בטוני נערכו כאשר הוא לימד סטודנטים שנה ב’ לתואר ראשון במדעים. הנושא העיקרי אותו למדו היה משוואות דיפרנציאליות.

* קירן (שם בדוי) החזיק בתואר במדעי המתמטיקה וערך מחקר PhD בסטטיסטיקה בזמן מחקר זה. קירן הועסק בנוסף כמתרגל עבור מחלקת המתמטיקה והסטטיסטיקה של האוניברסיטה. התצפיות בקירן נערכו כאשר הוא לימד סטודנטים שנה ב’ לתואר ראשון בהנדסה. הנושא העיקרי אותו למדו היה סטטיסטיקה.

נואל וקירן השתתפו בארבע סדנאות בנות שעה אחת בתחילת השנה האקדמית שסיפקו ייעוץ למתרגלים ב- MLS כיצד להתמודד עם תרגולי אחד-על-אחד. הנושאים שנכללו בסדנאות היו החשיבות של MLS, הרקע המתמטי של הסטודנטים, ההבדלים והצרכים האישיים של הסטודנטים, וה”עשה” ו”אל תעשה” של תרגול במסגרת אחד-על-אחד. ההכשרה עבור הוראה במסגרת כיתות גדולות הייתה מוגבלת ביותר ונותרה לשיקול דעתו של מנהל הסדנה (כלומר, נושא זה לא היווה את המוקד של הסדנאות). טוני לא לקח חלק בסדנאות אלו.

החוקר רואה בפרופיל זה של עוזרי ההוראה כ”אופייני” בהוראת מתמטיקה בתחום ההשכלה הגבוהה. תיאור זה אינו נוגע רק לשיעורי עזר במתמטיקה, אלא לכל המתמטיקה הגבוהה. זהו המצב במדינות כמו בריטניה, שבשונה מהחינוך התיכוני, אינה כוללת סטנדרטים לאומיים מוגדרים עבור אלו העוסקים בהוראה בהשכלה הגבוהה. דגימה זו כוללת רקע דומה לזה של סטודנטים בעלי תארים מתקדמים המלמדים שיעורי תרגול עבור מחלקות מתמטיקה ושיעורי עזר עבור תוכניות תמיכה במתמטיקה ברחבי העולם. בשל כך, מחקר זה מספק תובנות וכולל השלכות לא רק עבור התמיכה במתמטיקה, אלא עבור כל הוראת העזר במתמטיקה העל-תיכונית.

4.2. תוכנית המחקר

תרגולי התמיכה של ה- MLC מתחילים בשבוע 4 של הסמסטר ומסתיימים בשבוע 12. החוקר ערך תצפיות ותיעד בוידיאו כל אחד מהמתרגלים שהוזכרו מעלה, בשבוע 5, שבוע 8 ושבוע 11. תהליך זה אפשר למתרגלים לשפר את כישורי ההוראה שלהם במהלך התקופה של 8 השבועות. מאמר זה מתמקד בשיעור הראשון של כל אחד מהמתרגלים על מנת להדגים את המצב הנוכחי של הוראת העזר בהשכלה הגבוהה. ההיתר האתי למחקר זה ניתן על ידי ועדת האתיקה של האוניברסיטה. כל המתרגלים נתנו את הסכמתם מלאה וניתנה להם אפשרות לפרוש מהמחקר בכל עת. הסטודנטים לא הוצגו בוידיאו, אך קולם נשמע כאשר דיברו. המצלמה מוקמה בין המתרגל ובין הסטודנטים כשהיא פונה אל הלוח, כך שהתלמידים לא נראו בתיעוד הוידיאו. על מנת לאסוף נתונים אחרים שלא תועדו בוידיאו, החוקר נכח בכיתות וניהל רשימות in situ.

4.3. ניתוח הוידיאו

ליסטון מצא כי מורים הצופים בתיעוד וידיאו של עצמם, כאמצעי לניתוח ההוראה שלהם, צריכים לקבל הוראות מפורטות לגבי המסגרת שבה הם נדרשים לנתח את עצמם לפני עריכת ההתערבות. החוקר, לעומת זאת, ביקש לצפות בהם מלמדים ללא כל הוראות קודמות, כיוון שאחת המטרות המשניות של מחקר זה הייתה לבחון מיהו המתרגל ה”אופייני” בהוראת העזר במתמטיקה על-תיכונית. רבים מהסטודנטים בעלי תארים מתקדמים נכנסים לכיתות ההשכלה הגבוהה ללא כל הכשרה כיצד ללמד, או עם הכשרה מועטה בלבד, ומאמר זה מציג את ההשלכות הנובעות מכך. המשתתפים במחקר זה היו שלושה מתרגלי תמיכה העוסקים בתמיכה מתמטית, אך עם זאת, שניים מהמתרגלים שימשו גם כמתרגלים כחלק ממודולי מחלקת המתמטיקה באוניברסיטה בה נערך המחקר. ניתן לסווג אותם כמתרגלים “אופייניים” מכיוון שברוב המקרים, תרגולי המתמטיקה הבסיסית בהשכלה הגבוהה נערכים על ידי סטודנטים בעלי תארים מתקדמים. ההוראות לגבי מסגרת התצפית היוו חלק מסשן ניתוח הוידיאו הראשון על ידי שימוש בחלק מהסרטונים המתעדים את ההוראה, כדוגמא ליכולות ולאזורים הטעונים שיפור הקשורים למסגרת.

איור 2: מבנה סשן ניתוח הוידיאו.

החוקר ניתח את הוידיאו של שיעור תרגול התמיכה הראשון של כל אחד מהמתרגלים לצורך מחקר זה. כל וידיאו קודד בהתאם לחמשת האלמנטים של המסגרת התיאורטית: GPK, יסוד, טרנספורמציה, חיבור ותליות. בכל פעם שהמתרגלים הציגו פרקטיקה חיובית או שלילית הקשורה לאחד מתחומים אלו, אינטרוול הזמן בוידיאו קודד לפי הכותרת המתאימה.

המבנה של כל הסשנים עם המשתתפים היה כדלקמן (איור 2):

* תשאול ראשוני: המשתתפים ענו על שאלות כלליות, לדוגמא, “האם לדעתך השיעור התנהל היטב?”, “מה לדעתך התנהל באופן מוצלח באותו ערב?”, “מה לדעתך היה יכול להתנהל באופן מוצלח יותר?”

* ניתוח וידיאו בן 20 דקות: החוקר והמתרגל צפו בוידיאו במשך 20 דקות, ללא דיון. ההנחה הייתה כי אופי ההוראה של המתרגלים יהיה בולט לעין לאחר 20 דקות של תיעוד.

* סקירת המשתתף: שאלות זהות לתשאול הראשוני.

* הצגת הסרטונים: החוקר בחר מראש סרטונים קצרים מתוך הסרט המלא. כל אחד מהסרטונים התבסס על המסגרת, לדוגמא, הצגת סרטון המצביע על צורך ביותר טרנספורמציה מצד המתרגל. הסרטונים מציגים 1-2 דוגמאות (כאשר הן קיימות בסרט המלא בן 20 הדקות) של כל אחד מהתחומים הבאים (דוגמאות חיוביות ושליליות): טרנספורמציה, חיבור, תליות, GPK. המתרגלים התבקשו להביע את דעתם לגבי הצדדים החיוביים/שליליים בסרטונים.

* תשאול על בסיס המסגרת: בעת הצגת הסרטונים, החוקר העלה שאלות לגבי ארבעת האלמנטים של המסגרת (כמצוין מעלה).

* הערות החוקר: החוקר מספק משוב בד בבד עם הצגת התשאול.

* הסכמה לגבי כישורים הטעונים שיפור: החוקר והמתרגל מגיעים להסכמה לגבי ביצוע מספר שיפורים בכישורי ההוראה של המתרגל בשבועות לאחר מכן.

למרות שמורים מתחילים אינם מבחינים בחלקים החשובים ביותר הדורשים שיפור באופן ההוראה שלהם על סמך וידיאו של 20 דקות, אחת משאלות מחקר זה היא האם באמצעות בחירת סרטונים ספציפיים והעלאת שאלות המבוססות על המסגרת בשלוש הזדמנויות שונות, המתרגלים יהפכו מודעים יותר למסגרת, ולאופן שבו הם מלמדים בהתאם אליה. קבוצת מיקוד שנערכה מספר שבועות לאחר תום הסמסטר בדקה האם תכונות המפתח של המסגרת הופנמו על ידי המתרגלים והאם הם מעריכים במידה שונה את החשיבות של הכישורים הקשורים במסגרת זו. כל סשן מבטיח בנוסף תערובת של ממצאים, הן מההמשגות הקוגניטיביות והן מההמשגות הקונטקסטואליות של ה- PCK, נושא הנמצא תחת ביקורת רבה בכל הנוגע לחקר של ה- PCK.

5. ממצאים

רוב המשוב בסשנים הראשונים של ניתוח הוידיאו של כל המתרגלים התמקד באספקטים של GPK.

שניים מהמתרגלים (נואל וקירן) התבקשו להשתמש בכתיב גדול יותר כאשר הם כותבים על הלוח. לדוגמא, קירן צייר דיאגראמת ון בת שלושה חלקים בנקודה מסוימת בשיעור, אך קשה היה לראות רבים מהערכים אותם צייר, במיוחד אלו שמוקמו בחפיפה בין שלושת החלקים. הוא היה צריך להיות מודע יותר לסטודנטים. למרות שהוא עצמו היה מסוגל לראות את הערכים, לא כל הסטודנטים היו מסוגלים לראות אותם. גם בסרטון הוידיאו לא ניתן היה לראות את הערכים, כשהמצלמה ממוקמת בין המתרגל לבין הסטודנטים (על מנת שלא לצלם את הסטודנטים). המצלמה, לפיכך, הייתה קרובה יותר ללוח מאשר הסטודנטים, אך הערכים היו בכל זאת קטנים מדי בכדי לקרוא אותם. בנוסף, החוקר, שישב מאחורי השורה האחרונה של הסטודנטים, לא הצליח לקרוא את הערכים מכיוון שהיו קטנים מדי. החוקר ציין זאת במהלך השיעור.

כל שלושת המתרגלים התבקשו להאט את קצב הדיבור שלהם, בעוד שקירן התבקש בנוסף להתמקד בשימוש שלו בקול ולהבטיח כי הדיבור שלו ברור בסוף המשפטים. למרות שנראה כי מדובר בסוגיה שולית, בשיעורים לאחר מכן קירן אמנם הצליח לשפר את הדיבור שלו אך עדיין התקשה לעשות זאת במשך שיעור שלם. על המתרגלים להיות מודעים לאופן בו הם מתקשרים.

המתרגלים התבקשו בנוסף להעלות יותר שאלות, מסדר גבוה יותר. מרבית השאלות שנשאלו על ידי כל המתרגלים היו בעלות אופי של “כן או לא”, או דרשו מהסטודנטים לבצע חישובים במחשבונים שלהם. למעשה, לא זוהו כלל שאלות מסדר גבוה בכל אחד מהשיעורים שנכללו במחקר זה. כל המתרגלים התבקשו בנוסף לתת לסטודנטים יותר זמן לענות על שאלות. כל המתרגלים גילו נטייה לשאול שאלות ולענות עליהן מיד בעצמם.

כל המתרגלים התבקשו בנוסף להפסיק להצהיר כי השאלות הן “קלות”, “פשוטות”, או כל הגדרה אחרת בסגנון. הצהרות כאלו היו נפוצות. בנוסף, למתרגלים הייתה נטייה להגיד כי הסטודנטים “אמורים להצליח” לענות על שאלות מסוימות. זהו אינו מצב מובן מאליו בכיתות תמיכה, או בתרגולי מתמטיקה מחלקתיים. אף אחת מנקודות אלו לא זוהתה כבעיה על ידי המתרגלים בעת שצפו בתיעודי הוידיאו שלהם. עם זאת, לאחר שהפנו את תשומת ליבם לכך, כל המתרגלים הבינו מדוע אין להצהיר הצהרות כאלו. למעשה, טוני ציין במהלך הסשן שלו כי הוא נדהם מכך שאמר דברים כאלו מלכתחילה. ממצא זה מלמד כי מתרגלים צריכים להיות מודעים ביותר לפעולות הורבאליות שלהם ולהיזהר מהערות אגב אשר עלולות להשפיע על התלמידים באופן שלילי.

אחד הממצאים שדרשו זמן דיון רב במהלך הסשנים היה כאשר המתרגלים התבקשו לתת לסטודנטים הזדמנות לנסות לפתור שאלות. טוני לא אפשר לסטודנטים לענות על שאלות כלל, בעוד שקירן נתן לסטודנטים לענות על שאלה אחת, 53 דקות מתחילת השיעור. קירן נתן לסטודנטים רק 8 שניות לפני שניגש ללוח והסביר את הפתרון. כל השיעורים היו דידקטיים ביותר והיו בעלי אופי של הרצאה יותר מאשר שיעור עזר. טוני העיר בסשן שלו כי “לא עלה בדעתי לבקש מהם לנסות לפתור שאלה. וזה נשמע כמו משהו מובן מאליו”.

כל המתרגלים התבקשו בנוסף לבדוק את הבנת התלמידים לעתים תכופות יותר. המתרגלים בדקו האם הסטודנטים הבינו לאחר שהם פתרו בעיה על הלוח. היה עליהם לבדוק זאת לאורך כל השאלות ולא להניח כי פעולות מסוימות, כמו כללי המעריכים, נהירים לכלל הסטודנטים. המלצה זו נכונה גם למצב שבו אחד הסטודנטים מתבלבל בתחילת השאלה ולכן אינו מסוגל להמשיך בפתרון המלא. חשוב לוודא כי כל הסטודנטים יעקבו אחר כל שלב של הפתרון.

5.2. יסוד ואמונות

נואל וקירן החזיקו ברמה גבוהה מאוד של ידע לגבי החומר. קירן, עם זאת, התמקד במידה רבה במבחן. הוא הזכיר את מבחן הסיום של הסמסטר בשבע הזדמנויות שונות ב- 20 הדקות הראשונות של השיעור. אמונה זו השפיעה על אתוס ההוראה שלו בכך שהוא ציין שוב ושוב כי על הסטודנטים ללמוד על סמך נוסחאות שונות, מבלי לוודא כי הסטודנטים מבינים את אותן נוסחאות. אחת הבעיות דרשה מהסטודנטים לקרוא פסקה מתוך מחקר מסוים ולזהות את האוכלוסייה, הדגימה, הפרמטר וכן הלאה. קירן ציין בפני הסטודנטים כי “גושי טקסט גדולים אלו מנוסחים בדיוק באותה צורה עבור כל אחת מהשאלות שתקבלו”, הצהרה שאינה מבהירה את החשיבות של חקר סטטיסטי נכון עבור התלמידים, ובמקום זאת מדגישה את החשיבות של שינון עבור המבחן. האספקט השלילי היחיד של ה- SMK של קירן נגע להסבר שלו לגבי נתונים דיסקרטיים, שלדבריו היו מורכבים מ”מספרים שלמים”. כל הבעיות שביקשו מהכיתה לקבוע את סוג הנתונים המוצגים התבססו (בהנחה והנתונים היו כמותיים) על השאלה האם הנתונים כללו נקודה עשרונית או לא. עם זאת, סשן ניתוח הוידיאו כלל דיון במידות נעליים אירופאיות וסיווג הנתונים אליו הן שייכות, שהוא כמובן דיסקרטי על אף העובדה כי הן כוללות נקודה עשרונית. אחת הדוגמאות המראות כיצד מצב זה השפיע על ההוראה שלו נגעה לבעיה שביקשה מהסטודנטים לקבוע את סוג עוצמת הנתונים (הנמדדת בניוטון). קירן ציין כי מדובר במשהו ש”יכול להיות גם דיסקרטי וגם רציף. אם נאפשר נקודות עשרוניות, אז טכנית הוא רציף, אם לא נאפשר נקודות עשרוניות אז טכנית הוא דיסקרטי”. הצהרה זו הובילה לבלבול בכיתה והסטודנטים לא הבינו כיצד עליהם לפתור את השאלה, מכיוון שהמבחן היה אמריקאי ורק תשובה אחת הייתה נכונה. קירן ענה כי “אם כך, הייתי אומר כי הוא רציף” מבלי שנתן נימוקים לבחירה זו, והמשיך לבעיה הבאה.

עברו כארבע שנים מאז שטוני נתקל בתוכן אותו לימד. הוא הודה כי ההכנה שלו לשיעורים התמקדה בעיקר בחומר הנלמד מכיוון שהוא היה צריך להיזכר ברבים מהתהליכים והקונספטים הרלוונטיים. ברור היה כי הידע של טוני לגבי הנושא הנלמד השפיע באופן שלילי על יכולתו ללמד את התכנים. הוא ענה על שאלות הסטודנטים באופן מעורפל, כמו “זה בערך כמו…” ו”נדמה לי ש…”. ברור היה כי אין לו את הידע הפרוצדוראלי המלא לגבי התוכן, שלא לומר עיגון מושגי לגבי תהליכים שונים. כמעט כל ההוראה שלו סבבה סביב “שלבים” האמורים להוביל לפתרון. לא ננקט מאמץ כלשהו מצידו להסביר את ההיגיון מאחורי שלבים אלו.

5.3. טרנספורמציה

למרות שהסשנים הראשונים נגעו בעיקר לאספקט ה- GPK, בכל זאת התנהלו שיחות לגבי האספקט של ידע הטרנספורמציה של המתרגלים.

קירן הפגין מספר אספקטים חיוביים הקשורים בטרנספורמציה. הוא השתמש בבחירות שנערכו לאחרונה בכדי להסביר את ההבדל בין אוכלוסייה ודגימה, והשתמש באנלוגיה כדי לקשר בין אוכלוסייה ופרמטר (P’s ביחד) ובין דגימה וסטטיסטיקה (S’s ביחד). עם זאת, אחת הדוגמאות המראות כיצד ניתן לשפר את הטרנספורמציה שלו נצפתה בהסבר שלו לגבי אחת הבעיות. הוא הציג שתי דרכים שונות לפתרון של בעיה מסוימת, כאשר הדרך הראשונה היא מתמטית לחלוטין והשנייה כללה שימוש בדיאגראמת ון. בסשן ניתוח הוידיאו, הוסכם כי מוטב היה עדיף להסביר זאת בסדר ההפוך, כאשר הדיאגראמה מוצגת ראשונה והדרך המתמטית שנייה. באופן זה, הסטודנטים יכולים לדמות כל בעיה הנוגעת לנוסחת ההסתברות השלמה הדורשת מהסטודנטים להשתמש, לדוגמא, בגישה של 1 – P(x) , ולפיכך תבטיח כי הסטודנטים יבינו את ההיגיון מאחורי התהליך בו משתמשים.

טוני ונואל דילגו על שלבים רבים בפתרון שלהם, וציינו לאחר מכן כי הם הניחו שהסטודנטים מסוגלים לבצע תהליכים מסוימים. לדוגמא, נואל היה צריך לפתור את x2 =  בסוף הבעיה וכתב את השורה הבאה בתור x = ±  מבלי להסביר כיצד הגיע לכך. נמצא כי תהליכים מסוג זה מהווים בעיה עבור סטודנטים בהשכלה הגבוהה ולפיכך יש להסבירם. גם טוני לא הציג את השלבים במקרים מסוימים. לדוגמא, כאשר הוא נשאל “איך אתה יודע אם זה ספרבילי?” טוני הגיב על ידי הצבעה על מספר נקודות במשוואה ואמר “תביא את זה לכאן, את זה לכאן ואת זה לכאן” במהירות רבה. כאשר הוא שאל את הסטודנטים האם משוואה דיפרנציאלית מסוימת בדפי העבודה שלהם היא ספרבילית, אחד הסטודנטים ענה בהיסוס “לא”, למרות המשוואה אכן הייתה ספרבילית. טוני הגיב בכך שהוא עבר על אותו הסבר שוב במהירות, ולאחר מכן שאל את הסטודנטים בהיסוס “הבנתם את ההסבר? לא? בערך?” והמשיך לבעיה הבאה למרות שרבים מהתלמידים נותרו מבולבלים. החוקר ציין in situ כי ברור היה שהסטודנטים אינם מצליחים לעקוב אחר ההסבר. מצב זה הוכח שוב כאשר הסטודנטים התבקשו לציין האם משוואה דיפרנציאלית מסוימת היא ספרבילית או לא, והסטודנטית היחידה שניסתה לענות על השאלה שגתה בתשובתה. כל “תנועה” בהסבר של טוני אמורה הייתה להיות מוצגת על הלוח בליווי שפה מתמטית הולמת, לדוגמא, לא להגיד ש”מזיזים את x”, אלא כי “מחלקים את שני הצדדים ב- x”. בעת ההכנה שלו, טוני צריך היה להכין מספר דוגמאות המסבירות קונספטים כמו משוואות דיפרנציאליות ספרביליות ומשוואות דיפרנציאליות הומוגניות. נואל, שהעביר שיעור על אינטגרציה, השתמש בכללי המעריכים מבלי שהסביר כיצד הגיע לקו מסוים. לדוגמא, הוא הציג את הנוסחא dx  וכתב את השורה הבאה בתור dx  בליווי הסבר מילולי קצר ומהיר בלבד.

5.4. חיבור (ריצוף החומר וצפיית מורכבויות)

כל שלושת המתרגלים הציגו את החמור באופן דיסקרטי ביותר ללא כל חיבור בין תהליכים מתמטיים לבין היישום/רעיונות התואמים שלהם. לדוגמא, נואל לא הסביר את הקשר בין אינטגרציה לשטח, למרות שמדובר היה בשלב שבו הסטודנטים נתקלים בפעם הראשונה בבעיות הנוגעות למושג זה. כל שלושת המתרגלים ריצפו את השיעורים שלהם באופן מוצלח ביותר, והבהירו באופן ברור באילו נושאים השיעור יעסוק. הסטודנטים קיבלו תזכורות רבות לגבי הנושאים אותם למדו עד עתה, ואילו נושאים יילמדו בהמשך. צפיית המורכבות של התכנים הייתה שיקול אותו נואל וקירן לקחו בחשבון בבירור. קירן, שכפי שציינו, העביר תרגולים עבור מחלקת המתמטיקה, הבחין כי בעיה מסוימת הקשתה על הסטודנטים באותם תרגולים. הוא ציין זאת בשיעור התמיכה ואמר כי יתמקד בבעיה זו שוב. למרות הקושי של הסטודנטים בהתמודדות עם החומר המורכב, קירן עבר על הבעיה במהירות רבה ולא שינה את שיטות ההוראה שלו כלל. לדוגמא, אם סטודנטים מתקשים מאוד עם בעיה מסוימת, ניתן לצפות כי מתרגל התמיכה יסביר את הנושא באיטיות ויוודא כי כל אחד מהסטודנטים מבין כל שורה. קירן לא עשה זאת. טוני צריך היה להיות מודע יותר לרקע המתמטי של תלמידיו. מכיוון שזו הייתה השנה הראשונה בה שימש כמתרגל בתוכנית התמיכה המתמטית, או בתרגול מתמטיקה בלימודים על-תיכוניים באופן כללי, טוני לא הכיר את המודולים האוניברסיטאיים המקומיים ואת תנאי הקבלה של תוכניות מסוימות. הכיתה של טוני הייתה קורס מתמטיקה בסיסית עבור סטודנטים שנה ב’ במדעים. כלומר, לא מדובר היה במומחים למתמטיקה שנדרשו להפגין ידע מתקדם במתמטיקה תיכונית כדי להתקבל לקורס באוניברסיטה. סטודנטים אלו לא למדו חשבון דיפרנציאלי מאז הסמסטר הראשון של שנה א’ (כלומר, 15 חודשים לפני כן), וייתכן ולא תפסו את המושגים באופן מלא וכי קיימים אצלם פערים בהבנה לגבי דרישות מוקדמות שונות כמו לוגריתמים ומעריכים. טוני צריך היה להעביר את התכנים באיטיות רבה, ובדומה לקירן, הוא לא עשה זאת.

5.5. תליות

קירן ונואל הפגינו יכולת גבוהה בנוגע לתליות. כאשר הצורך עלה, למרות שמדובר היה בהתרחשות נדירה בשל האופי הדידקטי של ההוראה שלהם, הם הגיבו היטב לשאלות מצד הסטודנטים. באחד המקרים, עם זאת, קירן טעה בשאלה מסוימת, שבה הוא שגה בזיהוי האוכלוסייה. כאשר אחד הסטודנטים הבחין בכך ושאל האם מדובר בטעות, קירן תיקן את הפתרון על הלוח וציין “טוב” בקצרה. יש להיעזר בטעויות כהתנסות לימודית עבור כלל הנוכחים וקירן צריך היה להבהיר לכלל הסטודנטים היכן טעה, וכיצד ידע לתקן את הטעות. נואל נשאל בסופה של בעיית אינטגרציה מסוימת אם הסטודנטים יכולים “להשאיר (את התשובה) כמו שהיא?” או האם עליהם להמשיך ולפשט את התשובה.

נואל ענה כי הם יכולים להשאיר את הפתרון כמות שהוא, והסביר כי אם הסוגריים היו בריבוע או מעוקבים ניתן לפתח אותם, אך בבעיה זו החזקות היו שברים מדומים ולכן ניתן להשאיר אותם כמות שהם. הנקודה החיובית במקרה זה היא כי הוא לא נתן רק הסבר פשטני של “תשאירו זאת כך” אלא נתן דוגמא למקרה שבו יש להמשיך ולפשט הלאה, בנוסף להסבר מדוע הוא לא מוסיף לפשט את הפתרון במקרה הספציפי הזה.

טוני, לעומת זאת, היה פחות מיומן בתגובותיו לשאלות בהשוואה לנואל וקירן, כתוצאה מהבקיאות המועטה שלו בחומר. במקרים רבים הוא הפגין חוסר ביטחון בתגובות שלו לשאלות אותן העלו הסטודנטים. לעתים קרובות הוא השתמש בביטויים כמו “נדמה לי ש…”, “משהו כמו…” ו”כנראה” בתגובה לשאלות. הוא לא הצליח לסטות מתכנית השיעור כאשר הדבר נדרש, והוא הודה כי הוא הכין מראש את השאלות אותן התכוון לפתור בשיעור אך לא מעבר לכך. בנוסף, הוא ציין מספר פעמים כי הוא יבדוק נקודות מסוימות עבור הסטודנטים ויסביר אותן בשיעור הבא. למרות ששיטה זו מומלצת במקרה שבו המתרגל אינו בטוח לגבי רעיון או תהליך מסוים, מוטב לעשות בה שימוש רק לעתים נדירות.

6. דיון

6.1. מהו הידע המתמטי הפדגוגי התוכני והידע הפדגוגי הכללי בו מחזיקה דגימת מתרגלי התמיכה המתמטית בהשכלה הגבוהה?

כפי שציינו בחלק 4.1., מתרגלים אלו נחשבים כ”אופייניים” באירלנד ובמקומות אחרים ב- MLS ובתרגול המתמטיקה העל-תיכונית. מתרגלים של מתמטיקה על-תיכונית, במיוחד מתמטיקה בסיסית, הם לרוב סטודנטים בעלי תארים מתקדמים עם רקע במתמטיקה, אך ללא הכשרה פורמאלית בהוראה במהלך לימודי התואר הראשון שלהם, או לפני שהם מתחילים לשמש כמתרגלים עבור מחלקות המתמטיקה או במסגרת MLS.

המסגרת התיאורטית שיושמה במחקר זה חשפה מספר רב של בעיות הקשורות באלו שנושאים באחריות ללמד במסגרת ההשכלה הגבוהה, אך לא זכו להדרכה כלשהי לגבי האופן בו עליהם ללמד. מרבית המשוב הניתן למתרגלים נגע ל- GPK שלהם. עבודת לוח, מהירות הדיבור ומתן אפשרות לסטודנטים לפתור בעיות היו רק חלק מהסוגיות אותן התבקשו המתרגלים לשקול. למרות שהתהליכים המתמטיים כשלעצמם (כלומר, הידע היסודי של המתרגלים) נוטה שלא להוות גורם שלילי עבור המתרגלים (להוציא את טוני במחקר זה), רק לעתים רחוקות מתבצע ניסיון להציג את העיגון המושגי של הליכים אלו (טרנספורמציה). חלק מהדברים אותם הציגו המתרגלים במהלך ההוראה שלהם אינם שגיאות הנמצאות באחריותם בלבד. לדוגמא, ההתמקדות הרבה במבחן הינה חלק מהותי ממערכת החינוך האירית, כאשר המבחנים התיכוניים מהווים חלק משמעותי ביותר בקביעת עתידו של האדם. בשל כך, התקשורת והחברה עוסקות במידה רבה במבחנים, וזהו אחד מהנושאים העיקריים בדיון הציבורי לגבי חינוך. לא מפתיע אם כן כי קירן היה עסוק כל כך במבחן של סוף הסמסטר. יש לוודא כי המתרגלים מכירים היטב את הרקע של הסטודנטים אותם הם מלמדים, בין אם מדובר בכיתות מחלקתיות או בשיעורי תמיכה. למרות שהמתרגלים צפו כי חלק מהתוכן יהיה מאתגר, הם לא שינו את שיטות ההוראה שלהם בהתאם לכך. השאלות נענו אחת לאחר השנייה על הלוח באופן פרוצדוראלי, כשהמתרגלים בודקים אם הסטודנטים מבינים את החומר רק לאחר שסיימו לכתוב את הפתרון. בנוסף, המתרגלים הציגו את הפתרונות בצורה מהירה מאוד. באחד מהדיונים עם המתרגלים נאמר כי התרגולים במחלקות הם מהירים אף יותר, כשההתמקדות היא רק בהעברת כל החומר בדפי התרגול ללא הקדשת זמן לטיב הלמידה של הסטודנטים. אותו מתרגל סיפר כי הסטודנטים פשוט מעתיקים את החומר שהמתרגל רושם על הלוח ורק לעתים רחוקות שואלים שאלות. המתרגלים האמינו כי קצב תרגולי התמיכה שלהם היה איטי, מכיוון שהם לא הספיקו לעבור על כל השאלות. יש לקחת בחשבון סוגיה זו לפני שהמתרגל מתחיל בהוראה, והמתרגלים צריכים לקבל הדרכה מתאימה לגבי אספקט המהירות של ההוראה שלהם. שני המתרגלים במחקר זה שהחזיקו בידע יסודי חזק הגיבו לשאלות הסטודנטים היטב, ולכן עליהם להעלות יותר שאלות ולאפשר לסטודנטים לשאול יותר שאלות על מנת להפיק תועלת מכישוריהם. יש להבהיר למתרגלים, לפני שהם מתחילים בהוראה, כי עליהם להשתמש בשגיאות העלולות להתרחש בתור התנסות לימודית עבור הסטודנטים, שבאמצעותה המתרגל יכול להעסיק את הסטודנטים בשיח מתמטי בעת שהם פותרים בעיות ובוחנים את הפתרונות שלהם.

6.2. מהן ההשלכות לגבי הכשרת מתרגלי מתמטיקה בהשכלה הגבוהה?

המתרגלים הפכו מנותקים מדי מהוראה ולמדו להדריך באמצעות שיטות הרצאה מסורתיות (דידקטיות) בעקבות הניסיון שלהם באוניברסיטה. רבים מהמתרגלים בעלי תארים מתקדמים לא נתקלו כלל בהוראה מאז סיום לימודיהם התיכוניים (לפחות חמש שנים קודם לכן) ומבחינתם, הם אמורים ללמד באמצעות הרצאות. בתמיכה בלימודי מתמטיקה, או בכיתות של מחלקות המתמטיקה, זה הוא אינו המצב הרצוי. יש לתת לסטודנטים הזדמנות לנסות לפתור בעיות (בין אם הם מצליחים או נכשלים בכך) ולשאול אותם שאלות אם ברצוננו כי הם ילמדו את התכנים אותם עליהם ללמוד. שינויים אלו הופכים נחוצים אף יותר לאור מסמך הנחיות האירופאיות להבטחת איכות בתחום ההשכלה הגבוהה (ESG) שפותח על ידי ההתאחדות האירופאית להבטחת איכות בהשכלה הגבוהה (ENQA), המתמקד בלמידה, הוראה והערכה ממוקדת-תלמיד, תוך פיקוח מצד פאנלים להבטחת איכות. נקודה 1.5 במסמך מציינת כי יש להקפיד על הבטחת איכות של חברי הסגל. על סמך הכיתות שנבחנו במחקר זה, נראה כי הנחיות אלו אינן מיושמות. המחלקות אחראיות אף הן במידת מה לשיפורים הדרושים, מכיוון שהן מעסיקות מתרגלים בעלי תארים מתקדמים ללא רקע הולם בחינוך, וללא פיקוח או הדרכה.

חיוני כי מחלקות המתמטיקה יספקו הכשרה מתאימה למתרגלים לפני שהם מתחילים בהוראה, וכי הם יזכו לתמיכה מספקת בכל תקופת ההוראה שלהם. מכיוון שמתמטיקה היא הגורם המנבא המשמעותי ביותר להתקדמות בהשכלה הגבוהה, וכי הרמה המתמטית של הסטודנטים היא נמוכה ביותר, חיוני כי ההוראה אותה מקבלים הסטודנטים תהיה באיכות הגבוהה ביותר על מנת להבטיח רמת התמדה האופטימאלית. למרות שקיימת הכשרה מסוימת בתחום תרגול המתמטיקה באירלנד במסגרת של אחד-על-אחד, ניתן לראות אצל קירן ונואל כי היישום של הכשרה זו, המורכבת בעיקר מהרצאות על בסיס ספרות החינוך המתמטי, לא הושג באופן משביע רצון. על בסיס מחקר זה, מומלץ כי הכשרתם של המתרגלים תכלול גם אלמנט מעשי שבו המתרגלים יוכלו להתאמן בהוראת מתמטיקה ולקבל משוב על התנהלותם בכיתות גדולות ממחנכים מנוסים. כפי שמציין נואל במחקר זה, “חלק מהנושאים הללו [המשוב אותו קיבל], לעולם לא הייתי מבחין בהם לבד. הייתי ממשיך ללמד באותה צורה אליה הייתי רגיל. ואני מניח שמהעגל פשוט היה חוזר על עצמו”. מאמר נוסף ידגים שיטה שהצליחה להשיג סטנדרטים פרקטיים טובים יותר עבור תרגולי מתמטיקה במסגרת כיתות גדולות. אם לסכם שיטה זו, לצד תהליך ניתוח הוידיאו שפורט במחקר זה המתרגלים מקבלים משוב לגבי תחומי GPK כלליים אותם עליהם לשפר, לאחר סשן ניתוח הוידיאו הראשון שלהם, ולאפשר להם תקופה של שבועיים-שלושה להתאמן על כך. לדוגמא, הומלץ לקירן לשפר ארבעה דברים הקשורים ב- GPK בין השיעור הראשון שלו לשיעור השני. המשוב שניתן לו היה כדלקמן:

* פחות דגש על מבחן הסיום והסתמכות על נוסחאות. שינוי החשיבות של החומר מהמבחן לחשיבות של החומר עבור הסטודנטים כמהנדסים.

* לכתוב גדול יותר על הלוח – יש לוודא כי כולם בכיתה יכולים לראות מה כתוב.

* יש לאפשר לסטודנטים לענות על יותר שאלות ולהעלות שאלות בעצמם, ולתת להם מספיק זמן לענות עליהן.

* האטת קצב הדיבור.

לאחר סשן ניתוח הוידיאו השני, ניתן למתרגלים משוב לגבי הנקודות אותן יש לשפר ביחס לכישורי הטרנספורמציה שלהם, לצד מיומנויות GPK עליהן יש לעבוד. אם ה- GPK נותר בגדר בעיה מרכזית, ניתן למקד את המשוב בתחום זה. לדוגמא, קירן קיבל המלצה כי עליו לשפר את הנושאים הבאים ביחס ל- GPK ולטרנספורמציה בין השיעור הראשון לשני:

6.2.1. GPK

* הדיבור שלך היה איטי בהרבה, אך עליך לשמור על קצב איטי לאורך כל השיעור. במספר מקרים הקצב היה מהיר מדי.

* תן לסטודנטים יותר זמן לענות על השאלות.

6.2.2. טרנספורמציה

* עליך להסביר את מטרתם של המושגים לפני שאתה מתחיל לפתור בעיות הקשורות בהם. לדוגמא, מהי בדיוק פונקצית צפיפות?

* תן לסטודנטים סקירה כללית של העמודים הרלוונטיים עבור החומרים בהם אתה משתמש בכיתה, כמו טבלאות סטטיסטיות. אם לסטודנטים אין את הטבלאות או שהם שכחו אותן, הם לא יידעו מהיכן אתה מביא את הערכים בפתרון שלך. ייתכן ותצטרך בנוסף להסביר כיצד להשתמש בהם בשלב מוקדם יותר בשיעור. לדוגמא, השתמשת בטבלה לאחר 5 דקות מתחילת השיעור, אך לא הסברת כיצד להשתמש בה עד הדקה ה- 11.

* ייתכן ותרצה לחשוב על יישומים שונים להסברים שלך. לדוגמא, במקום לחשוב על בעיה עבור הסטודנטים כמו זו שבה השתמשת, “הנח כי X~binomial(10,0.01). מצא את Pr(X ≤ 2)”, אולי תחשוב על מצב שבו שאלה כזו היא הגיונית, במקום להציג אותה באופן אבסטרקטי. היעזר בדפי התרגול של הסטודנטים – ייתכן ויש שם בעיה יישומית בה תוכל להשתמש.

ה- GPK והטרנספורמציה נבחרו כאזורי השיפור העיקריים מכיוון שאלו התחומים בהם המתרגלים נדרשו לשיפורים הרבים ביותר, על סמך מחקר הפיילוט. ה- GPK נבחר כתחום הראשון אותו יש לשפר מכיוון שהחוקר סבר כי ראשית כל, חשוב שהמתרגלים יהיו מאורגנים, בעלי קול ברור וצלול ועם מודעות לכישורי ההוראה הכלליים שלהם, לפני שהם מתחילים לעבוד על שיפור הפדגוגיה המתמטית הספציפית שלהם.

על בסיס שיטה זו, החוקר/מדריך יכול לייעץ למתרגל כיצד לבנות את כישורי ההוראה שלו לפי בלוקים או תחומים (כלומר, המסגרת התיאורטית של מחקר זה). במקרה הצורך יש לבחון ראשית כל את תחום היסוד, מכיוון שהחשיבות העליונה היא כי המתרגלים יבינו את המתמטיקה אותה מלמדים לפני שהם מתחילים בהוראה. עם זאת, במקרה של המחקר הנוכחי, כולל מחקר הפיילוט, היסוד היה נקודת חוזק בבסיס הידע של המתרגלים.

המאמר הבא של המחבר יראה כיצד כישורי ההוראה של המתרגלים השתנו במשך תקופת שלושת השיעורים, וידון בנקודות שהשתפרו אצלם ובאלו שלא. נמצא כי כישורי ההוראה של המתרגלים השתפרו משמעותית במונחים של כישורי ההוראה הכלליים שלהם ובאופן בו הסבירו את התכנים לסטודנטים.