Viviani’s Theorem and Its Extension

Integre Technical Publishing Co., Inc. College Mathematics Journal 41:3 January 22, 2010

המחבר: אליאס עבוד Elias Abboud

המכללה האקדמית לחינוך בית ברל

על המחבר:

אליאס עבוד (eabboud@beitberl.ac.il) רכש את התואר D.Sc. מהטכניון, ישראל בשנת 1994. משנת 1990 לימד מתמטיקה במכון לאקדמיה ערבית ללימודי מורים בית ברל, שם לאחרונה מונה למנהל המתמטי. תחום המחקר העיקרי שלו הוא תיאורית הקומבינטוריקה הקבוצתית אך הוא מתעניין בתחומים נוספים כגון קומבינטוריקה ותיאוריית המספרים. תחומי עניין אחרים הם מוסיקה מזרחית, נגינה על כלי העוד ושירה במקהלה בכנסיה המרונית בחיפה. יחדיו עם אשתו מארי הוא מגדל את שלושת ילדיהם: מרנה, אדוניס וקירה.

Keywords:  [Click here to add keywords.]

התיאוריה של ויויאני והרחבותיה

נניח הפוליגון או הפאון   מורכב מנקודות גבול ומנקודות פנימיות.

נגדיר את הפונקציה  עבור סכום המרחקים, כאשר לכל נקודה  הערך  מוגדר כסכום המרחקים מ P לצדדי הפוליגון  . ניתן לציין ש  הוא בעל “סכום ויויאני קבוע” או בקיצור CVS (Constant Viviani Sum) במידה והפונקציה  היא קבועה.

ויויאני (1622-1703) שהיה סטודנט ועוזר של גלילאו, גילה כי קיים CVS במשולשים שווי צלעות. ניתן להוכיח את התיאוריה שלו בקלות ע”י שימוש בשטחים. חיבור הנקודה P בתוך המשולש לצלעותיו מחלקת אותו ל 3 חלקים. סכום החלקים יהיה שווה לשטח המשולש המקורי. לכן  יהיה שווה לגובה המשולש והתיאוריה מתאימה. החשיבות של התיאוריה של ויויאני היא בכך שהמורה שלו טוריצ’לי (1608-1647) השתמש בה לאיתור נקודת פרמה Fermat)) של משולש.

מה ניתן לומר על פוליגון כללי ופאון?

ישנו קשר מפתיע בין התיאוריה של ויויאני ותכנות לינארי. מאמר זה פורש את הקשר שר מוביל לניתוח מלא של התנהגות  עבור פוליגונים ופאונים – קעורים וקמורים כאחד.

פוליגונים קמורים ופאונים.

מקרה של משולש. נתון משולש  ונתונים אורכי הצלעות  עבור  בהתאמה. נניח P היא נקודה בתוך המשולש ונציב  יהיו המרחקים מ P לצלעות המשולש (שרטוט מספר 1).

לתחום , נציב

References

Last Name, F. M. (Year). Article Title. Journal Title, Pages From – To.

Last Name, F. M. (Year). Book Title. City Name: Publisher Name.

Footnotes

1

Tables

Table 1

Figures title:

Figure 1.

Vol. 41, no.3, May 2010 The College Mathematics Journal