Bounded rationality and group size in Tullock contests

רציונאליות מוגבלת וגודל קבוצה במודל תחרות של ‘טולוק’

תקציר

אנו חוקרים במעבדה כיצד מודלים של מוגבלות בקבלת החלטות רציונלית במשחקים יכולים להסביר את ההוצאה המוגזמת של דמי שכירות ע”י מודל טולוק של תחרות משחקים. באמצעות סדרה חדשה של ניסויים שבו גודל הקבוצה משתנה על פני הפעלות, אנו מוצאים כי מודלים המבוססים על  בחירה לוגית מארגנים את הנתונים היטב. בסידור זה, שיווי משקל לתגובה קוונטית לוגית (QRE) הוא גבול של מודל היררכיה קוגניטיבית (CH) עם התגובה הלוגית הטובה ביותר עבור הפרמטרים המתאימים. בעוד שתגובה קוונטית לוגית- QRE לוכדת את הנתונים היטב, מודל היררכיה קוגניטבית -CH תומך בשחרור הנחת שיווי המשקל. שניהם, QRE ו CH מודלים בעלי פרמטרים אשר לוכדים את גבולות הרציונליות. הסבירות המקסימלית בתשואה של שני פרמטרים בשני המודלים מעיד על רציונליות מוגבלת יותר ככל שהקבוצה גדולה יותר. התאמות תקופתיות של ההוצאות נוטות יותר להיות בכיוון של שיפור הרווחים בקבוצות קטנות יותר.

1. מבוא

טולוק (1980) הציג מודל פשוט של תחרות, שבו המתחרים משקיעים באופן בלתי הפיך משאבים יקרים בתקווה לקבל פרס בשווי קבוע. הזוכה בפרס נקבע באופן סטוכסטי (אקראי), ככל שהוא משקיע יותר משאבים כך גדל הסיכוי שלו לנצח. וריאציות של המודל הבסיסי ניתן להחיל על טווח סביבה החל מלוביסטים להשפעה פוליטית, על מחקר ופיתוח, ועד לגיוס כספים. ליישום נרחב זה יש תמיכה בספרות על לימוד משחקים אלו במעבדה. רוב המחקרים במעבדה מוצאים שנושאים על ממוצע חורגים מהסיכון הנייטרלי (על שם נאש) של תחזיות ניבויים עבור הוצאות המשאבים. מורגן ואחרים (2012), בטבלה 1, מספקים סיכום מצוין של הספרות הממחישה את החוסן של תוצאה זו. מילנר ופראט (1989), דייוויס וריילי ואחרים. (1998), פונסה (2009), מורגן ואחרים, (2012) ופלוצ’י ואחרים (2012), בין היתר, מתבוננים גבוה יותר מאשר ההוצאה הממוצעת (על שם נאש) באמצעות מגוון של עיצובים.

מספר הסברים הועלו בניסיון להסביר את ההשתלטות על דמי השכירות בתחרויות אלה. אמלדוס ורופופורט (2009) ושרמטה (2011) מציעות שהטיות בשיפוט מובילות למשחק אגרסיבי. פארקו ואחרים. (2005),שרמטה (2010) ו שרמטה (2011) חקרו את המידה שבה העדפה לא כספית לניצחון יכולה להחשב  לרמות גבוהות של הוצאות. מאגו ואחרים. ( ,(2012 וורנריד (2012) פיתחו את הרעיון כי הוצאות גבוהות מפתחות התנהגות יציבה.

בניתוח במאמר זה, המיקוד שלנו יהיה על מודלים סטטיסטיים של התנהגות רציונלית מוגבלת, נניח שמשחק הוא רועש וכי המשתתפים לא מחשבים או משחקים את התגובות הטובות ביותר במדויק. גישה זו כבר נחשבה בעבר בתחרות טולוק על ידי שרמטה (2011) ושמיט ואחרים. ((2013, כמו גם על ידי בולוק ורותסטרום (2007) בהעברת ביקוש המשחק המוצג באמצעות מסגרת מטריצה​​. המודל שלנו מבוסס על הנחת תגובה לוגית, אשר מדגישה מודל היררכיה קוגניטיבית ברוח קרמר ואחרים. (2004), וכן מודל שיווי משקל תגובה קוונטית (QRE) מקלוי ופלפרי, (1995). המודל משחרר את שיווי המשקל של נאש בשתי דרכים: (1) בכך שהוא מאפשר לשחקנים להחזיק באמונות לא נכונות על המשחק של אחרים, ו (2) על ידי ההנחה  ששחקנים לא יבחרו את התשובות הטובות ביותר עם הסתברות אחת. שיווי משקל לתגובה קוונטית לוגית, היררכיה קוגניטיבית עם תשובות הטובות ביותר עבור חושבים מסדר גבוה, ושיווי משקל נאש הם כולם מקרים מיוחדים של המודל שלנו. בפרט, להערכתנו אין צורך להטיל את ההנחה הדדית-עקבית הטמונה בשיווי משקל נאש או בתגובה קוונטית לוגית.

ביקורת על מודלים סטטיסטיים של הסוג שאנו מחשיבים היא שהם מועסקים לעתים קרובות בסגנון פוסט הוק, עם פחות תשומת לב שניתנה ליכולתם של מודלים לארגן נתונים על פני טיפולים. היילי ואחרים. (2008) הצביעו על כך שמודלים של תשובות קוואנטאליות יכולים ללכוד התפלגות שרירותית של משחק, אלא אם כן הוטלו הגבלות נוספות. במודל שלנו, ישנם שני פרמטרים, ללכוד את המספר הממוצע של היסק חוזר, ואת הדיוק של התגובות הטובות ביותר. תוצאות ב מקלבי ופלפרי (1995) ורוגר ואחרים.(2009), מראים כי כאשר פרמטרים מתאימים במודלים הדומים לשלנו על פני משחקים, האומדנים שהתקבלו יכולים להשתנות באופן משמעותי.

בניסוי שלנו, משתנה הטיפול הוא מספר השחקנים המשתתפים בתחרות. אנחנו רואים תחרויות עם שני, ארבעה, ותשעה שחקנים, במדגם של נושאים שונים. ניבוי שיווי המשקל של נאש הוא שההוצאה לשחקן יורדת ככל שמספר השחקנים גדל, בעוד שההוצאה הכוללת של כל השחקנים גדלה, מתכנסת לכדי פיזור מלא דמי השכירות מלמטה. במודל שלנו, ההוצאה הפרטית פחות רגישה לגודל הקבוצה מאשר מה ששיווי המשקל של נאש צופה. עבור הפרמטרים במודל רחוקים משיווי המשקל של נאש, סך כל ההוצאות הקבוצה עולה יותר מהר ככל שמספר השחקנים עולה, לרמה טובה העולה על פיזור מלא של ערך הפרס.

ישנם שלושה מחקרים קודמים אשר באופן ישיר או עקיף לוקחים בחשבון את ההשפעה של גודל הקבוצה על התנהגות בתחרויות טולוק. אנדרסון ו סטאפורד (2003) מספקים את המניפולציה הישירה ביותר. בהזדמנות אחת של בחירה מותנית, המשתתפים מתבקשים לגבש הוצאות תחרות בכל אחת משש הגדרות אפשריות, המשתנות הן במספר שחקנים כמו גם הטרוגניות של עלויות. הם מוצאים באופן כללי שלמספר גדול של מתנגדים תוצאות בהוצאות  נמוכות יותר, אם כי בנתונים שלהם ההוצאה הממוצעת בתחרויות של חמישה שחקנים למעשה גבוהה מזו של שני שחקנים וארבעה שחקנים משחקים. שרמטה (2011) חוקר, בין טיפולים אחרים, האם סך ההוצאה גדול יותר בתחרות גדולה של ארבעה שחקנים, לעומת שתי תחרויות משנה, שכללו שני שחקנים כל אחד, כל אחד עבור פרס בשווי של מקסימום אחד וחצי. הוא מוצא שההוצאות הפרטניות ביחס לפרס נמוכות יותר לתחרויות של ארבעה שחקנים. מורגן ואחרים. (2012) משתתפים פוטנציאליים יכולים לבחור להיכנס, או לשבת מחוץ לתחרות ולקבל אופציות תשלום בחוץ. זה יוצר תחרויות עם מספר שונה של שחקנים, בהתאם להחלטות הכניסה של המשתתפים. הם גם בדרך כלל מוצאים שכאשר מספר השחקנים גדול יותר, ההוצאה הפרטית יורדת.

הניסוי שלנו הוא הראשון לשקול את ההשפעה של גודל הקבוצה במדגם על פני נושאים כלליים עם ניסויים חוזרים והחזקת גודל פרס קבוע. תואם באופן עקבי עם המודל שלנו, ובדרך כלל בניגוד לתוצאות קודמות, אנו מוצאים כי גודל הקבוצה יש השפעה מועטה על רמות ההוצאה הממוצעת. עם זאת, אנו מוצאים אפקט לטיפול במונחים של חלוקת ההוצאות, כשההוצאות מפוזרות יותר בקבוצות גדולות יותר. בגלל שממוצע ההוצאות הפרטניות אינן מגיבות לגודל הקבוצה, התוצאה היא שסכום ההוצאות גבוהות משמעותית בקבוצות גדולות יותר, עם תשע שחקני קבוצות מוציאים בממוצע כמעט פי שלושה את הערך של הפרס.

מכיוון שבניסוי שלנו התגובה הטובה ביותר למיקסום הרווחים תלויה רק ​​בהוצאות הכוללות של שחקנים אחרים, ולא על מספר השחקנים כשלעצמם, הניסוי שלנו מאפשר לנו לשאול אם פרמטרים רציונליים מוגבלים של המודל שלנו יציבים בתוך מחלקה של משחקים, בסביבה ניסיונית, שם ככל האפשר מתקיים קבוע. תוצאות קודמות בתחומים אלה מעורבות, גרונברג ואחרים. (2012) מדווחים על אומדנים יציבים של פרמטר QRE לוגי שני טיפולים במשחק סחורות ציבוריות, בעוד שרמטה (2011) מדווח על אומדני פרמטרים של QRE המשתנים בין יישומים שונים של תחרויות. אומדני הפרמטרים שלנו מצביעים על כך שהבחירות רועשות יותר, יחסית לסיכון הפיננסי בניסוי, בקבוצות גדולות יותר. לכן, לבזבזנות שנצפתה בקבוצות גדולות יש שני מרכיבים, זה נובע בחלקו כי ההחלטות הן הטרוגניות מלכתחילה, וגם בגלל הדיוק של התגובות הטובות ביותר יורד בקבוצות גדולות יותר.

כדי לחקור את התוצאה האחרונה באופן מלא יותר, אנו בוחנים את השינויים לפי תקופות שונות בהוצאות ביחס לתחזיות של תורת כיוון הלמידה (סלטן ובוצטה, 1994, סטלן וצמורה, 2008). אנו מוצאים כי, כאשר מספר המתמודדים הוא קטן, נבדקים נוטים להתאים את ההוצאות שלהם לכיוון של תגובות טובות יותר, כפי שתיאורית כיוון הלמידה מנבא.  עם מספר גדול יותר של מתחרים, התאמה, כאשר היא מתרחשת, סביר שבאותה מידה תהיה רחוקה מהבחירה המקסימלית של הרווחים כפי שהיא כלפי זה. תצפית זו עולה בקנה אחד עם הפרשנות של ערכים נמוכים עבור דיוק התגובה הטובה ביותר בקבוצות גדולות יותר, בכך ששניהם מצביעים על כך שהתשואות הצפויות של ההחלטות הן פחות מסבירות כוח בארגון הוצאות כאשר יש יותר נבדקים נוכחים. מאמר זה מאורגן כדלקמן. בפרק 2, אנו מתארים לראשונה את תחרות משחקי טולוק, ומציגים תצוגה של מסגרת ההיררכיה הקוגניטיבית הלוגית במסגרת זו. בסעיף 3, אנחנו פורשים את המדגם של הניסוי שלנו. סעיף 4 מציג את הנתונים שלנו וניתוח של התוצאות. סעיף 5 מסתיים בדיון.

2. שיטה

2.1 המשחק

אנחנו חוקרים תחרות על פרס בודד בעקבות טולוק (1980). יש מספר ידוע של שחקנים N, שלכל אחד מהם יש  תרומה ω. ערך הפרס שיוענק הוא V, והוא זהה לכל המתמודדים. כל מתחרה i = 1,… N   בוחר בו זמנית כמות   xi ∈ =[0, ω] לבזבז. הסיכוי של כל מתחרה לזכות בפרס נותן פרופיל של הוצאות הפרס אינו מוענק אם x1 = . . . = xN = 0.

עבור מתחרה נתון i כתוב את בחירת הסכום של מתחרים אחרים כ-  התמורה הכספית הצפויה למתחרה היא:

1).

אם שחקנים הם סיכון נייטרלי, למשחק יש שיווי משקל נאש ייחודי, בהנחהש- ω גדול מספיק, שבו

2). סך ההוצאות בשיווי משקל של נאש הוא /N*V ׁׁN-1)ׂׂ( שזה פחות מסכום הפרס.

2.2 מודלים סטטיסטים של משחק רועש

2.2.1. התגובה הלוגית הטובה ביותר

בניסויי מעבדה הלומדים תחרויות טולוק, רמות ההוצאות נצפת בכל מרחב האסטרטגיה, תופעה צ’ודורי ואחרים. (2013) מתייחסים כאל “ביזבוז יתר”. בנוסף, שרמטה (2010), מורגן ואחרים. (2012) ושמידט ואחרים (2013) כולם הדגימו כי גודל מרחב אסטרטגיה מעצב התנהגות, בהגבלה ההפקדה להיות פחות מערכו של הפרס מוריד את ההוצאות, גם כאשר ההפקדה נשארת גדולה יחסית לערך של הפרס. כדי ללכוד סדירויות אלה, אבן הבניין של הניתוח התיאורטי שלנו הוא מודל שירות אקראי באמצעות מפרט לוגי. אם לציין את האסטרטגיה המעורבת על ההוצאות האפשריות, נציין לפי  את התמורה הצפויה לשחקן אם הוא בוחר את רמת ההוצאות x, בהנחה שכל השחקנים האחרים יפעלו בהתאם לאסטרטגיה המעורבת השחקן מתבונן לא בתמורה הצפויה עצמה, אלא את התמורה הצפויה בתוספת טווח רעש  איפה שמונח הרעש באופן עצמאי עבור כל הוצאה מהתפלגות הערך הקיצוני עם פרמטר דיוק  לאחר מכן, ההסתברות לבחירה של השחקן עבור כל הוצאה x ניתנת על ידי:

3)

עבור   זה מפחית אקראיות אחידה; בגבול כמו    , התגובות הטובות ביותר נבחרות עם הסתברות אחת. שימוש בזה במשחקי תחרות טולוק ניתן ל  להיות הסיכוי כי הסכום של האחר 1- N

הוצאות המשתתפים שווים ל x, ההנחה שאסטרטגיה  מעורבת במשחק. לאחר מכן, המומחים משלמים על ביזבוז x

4) 

5) הבחנה ביחס לx –

6) החלטה לוגית מרמזת על התפלגות:

=

7) כש- K נורמליזציה קבועה כדי להבטיח אינטגרציה לאחדות. הבחנה ביחס x:

8)

9)

הצעה 1. עבור כל התפלגות משוערת של הוצאות על ידי שחקנים אחרים, עבור כל , ההתפלגות הלוגיסטית של ההוצאות הוא יחיד עם בחירה מודאלית ייחודית.

הוכחה.  האינטגרל הוא בהחלט ירידה ב x. לכן, המונח בסוגריים מרובעים הוא בהחלט ירידה ב x, ולכן ניתן לאפס אפס לכל היותר ערך אחד של x. כיוון ש–    יכולים לאפס אפס לכל היותר ערך אחד של x. אם קיים x> 0, מה שהופך לאפס, זוהי הבחירה מודאלית אשר ממקסמת את הצפיפות .כאשר הוא שלילי עבור x =0  ולאחר מכן x = 0 היא הבחירה המודאלית.

המבוא של תגובה רועשת הטובה ביותר מרגיע תכונה אחת של שיווי משקל נאש. כדי להמשיך הלאה, עלינו לנסח

את האמונות כאשר השחקן מגיב (ברעש).

2.2.2. היררכיה קוגניטיבית

בשיווי משקל נאש, אמונות השחקנים צופות כראוי את המשחק של אחרים. הנחה זו של אמונות נכונות מתבצעת באמצעות הרחבה סטטיסטית, שיווי משקל של התגובה הקוונטית. הנחות קבועות כאלה הן נוחות מבחינה אנליטית, אבל לא סבירות כמו מודל פרוצדורלי של איך שחקנים חושבים אסטרטגית במשחקים. זה הוביל לעניין במודלים אשר ויתרו על הנחות הדדיות עקביות כאלה.

משפחה פעילה אחת של מודלים אלו הם מודלים “רמה-k ” (סטאי ווילסון, 1995). במודלים סטנדרטיים של רמה k, חלק כלשהו של שחקנים (ברמה 0) מניחים לשחק את המשחק בצורה נאיבית, בדרך כלל על ידי בחירת האסטרטגיה באופן אקראי. שחקן ברמה 1 בוחר תגובה הטובה ביותר לאסטרטגיה ברמה 0, שחקן ברמה 2 בוחר בתגובה הטובה ביותר לאסטרטגיה ברמה 1, וכך הלאה. בגירסה זו הנפוצה ביותר, הרעיון של תגובה מדויקת ביותר נשמר, תוך הסרת ההנחה של חשיבה קבועה. אנו מכלילים זאת על ידי מתן תגובות רעש (לוגי) בכל רמה, בגירסה של ההיררכיה הקוגניטיבית של קמאר ואחרים. (2004).

נניח שיש אוכלוסייה של שחקנים. כל שחקן הוא מסוג אחד ∈ Z + k, כאשר k הוא מספר הצעדים של החשיבה שהשחקן מתחייב. חלקם של השחקנים מסוג k באוכלוסייה הוא (f (k. כללי ההתנהגות עבור כל סוג בנויים אינטיגרטיבית כלפי מעלה. הקלד k = 0 אקראית באופן אחיד על כל הפעולות. עבור סוגים k> 0, מניחים שהשחקנים בעלי ביטחון יתר, מתוך אמונה שכל השחקנים האחרים משתמשים בצעדים פחות מעטים של חשיבה. לכן, האמונות שלהם על סוגים אחרים השחקנים קטועים; האמונה של שחקן k על היחס של סוג h <k באוכלוסייה הוא  ו- gk (h) = 0 עבור h ≥k. לשחקנים יש אמונות נכונות על המשחק של סוגים נמוכים יותר.

בנוסף לצעדים שונים של תחכום אסטרטגי, אנו מאפשרים לשחקנים לבצע תגובות רועשות. במיוחד עבור כל סוגי k> 0, אנו מניחים כי שחקנים מסוג זה משחקים את התגובה הלוגית הטובה ביותר להפצת משחק של סוגים נמוכים יותר, עם פרמטר דיוק . לבסוף, אנחנו עוקבים אחר קמר ואחרים. (2004) בהנחה שההתפלגות f עוקבת אחר התפלגות פואסון עם ממוצע בהנחה זו, נוכל לחשב את התחזית של המודל על ידי לקיחת תערובת של התפלגות ההוצאות הפרטניות, המשוקללת על ידי הסתברויות ההתפלגות של פואסון.

 מציין את את התחזית ההיררכית קוגניטיבית של לוגי-פואסון עם רמות גבוהות של חשיבה, ודיוק פרמטר לוגי.

2.2.3 שיווי משקל התגובה הקוונטית

דרך נוספת לסגור את המודל היא להניח נקודה קבועה, כלומר, שהוא מרוצה עם  . זה מוביל לשיווי משקל לתגובה קוונטית לוגית (QRE) של מקלבי ופלפרי (1995). עבור , QRE יוצרת אקראיות אחידה על כל ההוצאות כ-   . הקבוצה של QRE  לוגי מתכנסת לשיווי משקל משנה של נאש של המשחק. אנחנו נכתוב   כדי לציין את חיזוי התגובה הקוונטית לוגית (QRE) באמצעות פרמטר .

השימוש בכללי לוגי לצורך הגדרת הסתברויות בחירה פירושה שברוב היישומים, ביטויים סגורים עבור QRE לוגי  אינם ידועים. יישומים של QRE מסתמכים על חישוב מספרי כדי ליצור תחזיות. טרוסי (2005) מדגים אלגוריתם יעיל ומעשי לחישוב מקבץ של קבוצת ה- QRE לוגי, הפניית יישום של אלגוריתם זה זמין ב”גמביט” (מקלבי ואחרים, 2013).

2.2.4. תחזיות כמותיות

כעת אנו נותנים סקירה כללית של תחזיות כמותיות של מודלים QRE ו- CH במסגרת הניסוי שלנו, באשר ω = 1200 ו- V = 1000. איור 1 מדגים את התפלגות ההוצאות האישיות עבור גודל הקבוצה N = 2, N = 4 ו- N = 9 נעשה שימוש בניסוי שלנו עם    ו  עבור כל גודל קבוצה, ניבוי שיווי המשקל נאש הוא קשור בתור קו אנכי עבור הפניה. הדמיון של   ו-  מדגים כי CH ו QRE עושים בעצם תחזיות בלתי ניתנות להבחנה, עבור ערכים אלה של  כבר כאשר יש בממוצע חמש רמות של חשיבה בשימוש.

רוג’רס ואחרים, (2009) הראו כי QRE ומודלים היררכים קוגניטיבים עם תגובות דטרמיניסטיות הטובות ביותר יכול להיות כל מחשבה על מקרים מיוחדים של מושג כללי יותר, הם מכנים את שיווי המשקל הטרוגניות של התגובה הקוונטית. איור 1 מתאר את התחזיות של QRE  לוגי ו  CH לוגי ישירות. מודל CH לוגי מגביל ללוגי QRE בכל משחק אם   מספיק קטן. מבנה התשלומים של המשחק קובע כמה גדול  יכול להיות מבלי להרוס את ההתכנסות הזאת. להלן אנו משתמשים במשחקי תחרות טולוק עם מרחב אסטרטגיה בודד עבור בהתאמה למודל שלנו. כאשר N =2 ההתכנסות מחזיקה עבור   אפילו עבור חללי אסטרטגיה בודדים. עבור N = 4 ו- N = 9, ההתכנסות מחזיקה עבור  כאשר אסטרטגית הפיכת ערך לבודד אינו עדין מדי. חישוב ישיר מאמת כי הפיכת ערך לבודד שאנו משתמשים בהערכות שלנו הוא מספיק גס כזה כי גבולות CH ל- QRE עבור כל .

יחסית לקו הבסיס של QRE, המודל CH מתאים לחלוקת ההוצאות עם זנבות ימין עבים ועם מצבים בהוצאות נמוכות יותר. באופן אינטואיטיבי, התגובה הטובה ביותר לאקראיות אחידה, התנהגות צעד- 0, היא לבזבז מעט מאוד (אפסים אפשריים) סכומים. לכן, תגובת צעד 1 תהיה במצב שלה או ליד אפס. כאשר   קטן, חלק גדול מהאוכלוסייה הוא שלב 0 או שלב 1, כך מאפיינים אלה של החלטות סוגי התפלגות משתקפות אפוא בתחזית המצטברת.

איור 2 קושר כיצד ממוצע ההוצאות הפרטיות והקבוצתיות משתנות ב- QRE כפונקציה של  ואת גודל הקבוצה. ההוצאות הפרטניות מתחילות במחצית התרומה ומתכנסות לניבוי שיווי המשקל של נאש מלמעלה בסידור זה, כפי שצוין בעבר על ידי שרמטה (2010). עם קבוצות גדולות יותר, התכנסות זו בהוצאות הפרט היא איטית באופן משמעותי ברמת הקבוצה, סך ההוצאה יכולה לעלות על הערך של הפרס, לעתים קרובות על ידי סכומים משמעותיים. החישובים ממחישים כי אם  היא עצמאית לגבי מספר השחקנים, אז נוכחות ההטרוגניות לבד יכולה להסביר עלייה משמעותית בפיזור כאשר מספר השחקנים גדל. עם זאת, אין סיבה להניח ש – אינו תלוי במספר השחקנים, ואכן אנו מעריכים אותו בנפרד לכל גודל קבוצה. המודלים מאפשרים לנו להבחין עד כמה שינוי בפיזור יכול לתרום לעובדה שהתגובות הטובות ביותר הם לא מדויקות מלכתחילה, בניגוד לשינויים בדיוק של התגובות הטובות ביותר כמו כן מספר השחקנים האחרים מגוון.

3. מהלך הניסוי

אנו מדווחים על סך של 9 מפגשים ניסיוניים, שנערך במעבדה לכלכלה בפיטסבורג (PEEL) תוך שימוש בנבדקים שגויסו מבריכת המשתתפים שמתוחזקת ע”י הבמעבדה. גודל הקבוצה היה מגוון במהלך המפגשים, עם שלושה מפגשים שנערכו עם כל קבוצת גודל N = 4, N =2 , ו N = 9. גודל הקבוצה נע בין 12-22 נושאים. בתחילת כל מפגש, נקראו בקול רם הוראות (ראה נספח א). לשם השוואה עם הספרות, ההוראות נבעו מהמוסיקה הסטנדרטית ושימוש במינוחי הלוטו בהצגת המשחק לנושאים. לאחר ההנחיות נקראו והובהרו שאלות שנענו, נבדקים השלימו שאלון כדי לבדוק את הבנתם. בפרט, אימות הבנת השאלון על פי יכולתו של כל נבדק לחשב את הרווחים הצפויים הנובעים משילובים מסוימים של ההוצאה על ידי נבדקים אחרים באותה קבוצה. בכל מפגש היו 10 חזרות של המשחק. בכל תקופה, נבדקים הושמו באופן אקראי מחדש לקבוצות בגודל .N לכל נושא ניתנה תרומה ω = 1200  אסימונים בכל תקופה. נבדקים בחרו בו זמנית מספר אסימונים בין 0 ל 1200 לבזבז בתחרות על פרס בשווי V = 1000 אסימונים. משוב על כל סיבוב ניתן בשני שלבים. לאחר שנבחרו ההוצאות באסימונים, אך לפני מימוש התוצאה האקראית, כל נבדק ראה מסך המדווח על ההוצאה הנבחרת שלו, סכום ההוצאות של כל שאר הנבדקים באותה קבוצה, וכן את ההסתברות שבה הוא/היא יזכו בתחרות. לאחר מכן, מסך הבא מציג את המימוש (אקראי) של ההגרלה עבור אותו נבדק, ואת סך ההכנסות בסיבוב, מחושב כמו התרומה, בניכוי ההוצאות, בתוספת כל הכנסות הזכייה בתחרות. אף זיהוי של נבדק דווח בממשק המחשב, וכן לא היו לנבדקים גישה לכל היסטוריה של המשחקים מלבד הניסיון שלהם.

בתום 10 סיבובים נבחרה אחת מתוך עשרה הסיבובים באקראי, ורווחי הנבדקים עבור חלק זה ממפגש הניסוי נקבע על ידי התקופה שנבחרה עם שער החליפין 100 אסימונים = $ 1.

לאחר 10 סיבובים של טולהוק משחקי תחרות, מפגש הניסוי המשיך עם 40 סיבובים של משחקים שאינם קשורים. האורך הכולל של כל מפגש היה כשעתיים, עם חלק התחרות בהיקף של שעה בממוצע. בנוסף לרווחים תלויי-ההכנסה שלהם, נבדקים קיבלו דמי השתתפות בסך 5 דולר.

4. תוצאות

תוצאה 1. ההוצאה הממוצעת עולה על תחזית שיווי המשקל של נאש לכל גודל הקבוצה. ההוצאה הממוצעת לא שונה באופן משמעותי על פני גודל הקבוצה. יש ראיות חלשות ללמידה לאורך זמן רק כאשר N = 9.

תמיכה. טבלה 1 מספקת הוצאות ממוצעות על פני כל טיפול. בכל מפגש, ההוצאה הממוצעת עולה על תחזית נאש, משכפלת את התוצאה הסטנדרטית במקרה שבו התרומה היא גדולה לפחות כמו הערך של פרס. יש לציין כי ההוצאות אינן רגישות לגודל הקבוצה.

איור 3 מתווה את ההוצאה הממוצעת לפי תקופה, מקובצת לאורך המפגשים לכל גודל קבוצה. למרות ההוצאות עולה על תחזיות נאש בשוליים גדולים, יש עדויות חזותיות אחדות של התכנסות משמעותית כלפי שיווי משקל נאש. אין סדר ברור של קבוצות גודל בכל שלב של הניסוי.

כדי להגדיר תצפיות אלו, אנו עורכים רגרסיה, כאשר ההוצאה הפרטית היא המשתנה התלוי. השתמשנו ב N = 4 כבסיס, שכן זהו גודל הקבוצה השכיח ביותר עד כה בספרות במשחקי תחרות טולוק, והגדרנו משתנה דמה עבור       N =   2 ו- N = 9. אנו כוללים גם את מספר התקופה כזמן המגמה, וכן אינטראקציה משתנה הדמה. בעקבות שרמטה (2010), אנו משתמשים באפקט אקראי לכל נבדק, וטעויות תקן ברמה של הפגישה. תוצאות הערכה מדווחות בטבלה 2.

הטבלה כוללת את בדיקות ההשערות העיקריות וערכי p המתאימים. אנו בודקים האם ההוצאות הממוצעות שוות לנאש עבור טיפול זה, השערות אלה נדחות בערכי p של 0.001 או פחות. אנחנו גם בדקנו רשמית אם משתני הדמה הטיפוליים שונים משמעותית מאפס, אנו לא יכולים לדחות את ההשערות הללו ברמה של 10% ולכן אין להסיק כי הוצאה אינדיבידואלית רגישה למספר השחקנים.

בהסתמך על התאמה לאורך זמן, אנו בודקים מגמת זמן לא אפסית בכל טיפול. אנחנו לא יכולים לדחות את השערת האפס ללא מגמה של N = 2 או N = 4 טיפולים ברמת מובהקות של 10%, אך יש תמיכה חלשה במגמה יורדת ב N =9 (p-value 0.053). עם זאת, משחק ממוצע נשאר רחוק מנאש גם לאחר 10 חזרות. הרגרסיה צופה כי ההוצאה הממוצעת היא 345 בתקופה הראשונה לעומת 307 בתקופה העשירית, עדיין רחוקה מהתחזית של נאש של 99. היעדר מגמת זמן ניתנת לזיהוי סטטיסטי עשוי להיות פונקציה של עיצוב 10-תקופות שלנו; במחקרים אחרים דיווחו על מגמות זמן  (למשל, שרמטה, 2010) הם מספיק קטנים כדי לדרוש תקופות רבות כדי לקבל אפקט סטטיסטי וכלכלי משמעותי.

מאחר שההוצאה הפרטית הממוצעת אינה תלויה באופן משמעותי על גודל הקבוצה, הרי שהסיכום הכולל של ההוצאה גדל במהירות ככל שגודל הקבוצה גדל. עבור קבוצות גודל N = 4 ו – N = 9, אנו מוצאים כי סך ההוצאה עולה על ערך הפרס. לדוגמה, ההוצאה הממוצעת לקבוצת תשעה נפשות אקראית N = 9 הוא $ 29.35, עבור פרס בשווי של $ 10 בלבד. אמנם יש ראיות מועטות כי מספר השחקנים משפיע על ההוצאות הפרטיות באופן שיטתי, יש הבדלים בהתפלגות ההוצאות כפונקציה של גודל הקבוצה.

תוצאה 2. ההוצאות הממוצעות אינן משתנות באופן משמעותי בין הטיפולים, אך התפלגות ההוצאות משתנה. בקבוצות גדולות יותר, ההפצה מפוזרת יותר. המודל היררכי הקוגניטיבי הלוגי לוכד את המאפיינים האיכותיים של חלוקת ההוצאות.

תמיכה. איור 4 מתווה את ההתפלגות המוחלטת של “קרנל” של ההוצאות האישיות עבור כל גודל קבוצה. הפצות אלה תואמים באופן איכותי את התחזיות של מודלים CH ו QRE באיור 1, בשיא של כל התפלגות נופלת מתחת לתחזית נאש. בנוסף, התדירות שבה השחקנים בוחרים ביעילות לא להיכנס לתחרות, על ידי בחירת אפס או הוצאה קטנה מאוד, גדלה בגודל הקבוצה, עולה בקנה אחד עם CH ו QRE. בקבוצות גדולות יותר, ההוצאות המודאליות נמוכות יותר וההתפלגות מחמיאה, וזנב ימין משמעותי יותר. שני אפקטים אלה מאזנים זה את זה, משאירים את ההוצאה הממוצעת כמעט ללא שינוי.

אנו עוקבים אחר הסטנדרט שנקבע על ידי מקאלוי ופלפרי (1995) ורוגר ואחרים, (2009) בהערכת ערכי פרמטרים ו- מנתוני הניסוי. אנו מדללים את המשחק עם 13 רמות ההוצאות k = 0, 100. . , 1100, 1200.11 עבור כל k, ההוצאות הפרטיות [k + 50, k – 50) הם קשורים ומטופלים כמו הבחירה במשחק בודד.  בהיעדר כל ראיה למגמת זמן משמעותית, אנו משלבים את כל 10 התקופות. טבלה 3 מסכמת את הפרמטר הנאמד ערכים וסיכויים לוגיים. איור 5 משווה בין תפוצת התפלגות הנתונים האמפירים לבין התפלגות הנובעת מהפרמטרים המתאימים ביותר עבור כל דגם.

ההערכות שלנו לגבי המספרים הממוצעים של רמות החשיבה הן  בין 1.5 ל -2.5, שהוא עולה בקנה אחד עם העובדה בספרות ברמה k כי רוב השחקנים עוברים בין אחד לשלוש רמות של חשיבה, בהתאם למשחק. אנו מעריכים ערכים גבוהים יותר מ- עבור מודלים היררכים קוגניטיבים מאשר עם ההגבלה QRE. זה עולה בקנה אחד עם התוצאות של גולמן (2011a,b ), אשר מראה כי הטלת ערך משותף של  ב- QRE כאשר לנציגים יש פרמטרים דיוק הטרוגניים, מוביל להטייה כלפי מטה, כלומר, הערכות QRE גורמים לשחקנים להיות פחות מדויקים בתגובות שלהם מאשר מה שהם באמת. רוג’רס ואחרים, (2009) מראים כי קוגניטיבית (ללא רעש) מודל היררכיה הוא שווה ערך מבחינה תצפיתית למודל QRE שבו השחקנים שונים בדיוק התגובה שלהם.

אנו בונים מדד כדי ללכוד את איכות התקנות שהתקבלו. שניהם, QRE ו CH מייצרים אקראיות אחידה כאשר  לכן, תוצאה של כל התאמה בהכרח הינה סיכוי לוגי שלפחות טוב מזה של ההתפלגות האחידה. בקיצוניות האחרת הסיכוי הטוב יותר לקרות לוגיסטית יביא למודל ניבוי, אם המודל יחזה בדיוק את ההתפלגות האמפירית. תנו ל  להיות לוגי בסבירות הקשורה להתפלגות אחידה, ול-   סבירות להתחבר להתאמה מושלמת. אנחנו הגדרנו פסאודוR2  מדידת  Q כמו :

10)

אנו מדווחים על ערכים עבור מדד זה עבור כל התאמות בטבלה 3. איכות התאמה גבוהה על ידי מדד זה עבור כל הטיפולים, פורמליזציה של איכות ההתאמה שניתן להבחין בה מבדיקה של איור 5.

תוצאה 3. השערת האפס היא שפרמטרים קבועים לאורך גדלים קבוצתיים יכולה להידחות הן עבור מודל CH  והן עבור מודל  QRE  .QRE ניתן לדחות סטטיסטיית לטובת  CH,  אבל היתרון המעשי של שיפור ההתאמה קטן.

תמיכה. תחילה נבחן האם אומדני הפרמטרים עבור כל דגם אינם תלויים בגודל הקבוצה. אנחנו מתאימים כל דגם עם הגבלה שהפרמטר (ים) נשאר זהה לכל גודל הקבוצה. התוצאות מדווחות בשורה שכותרתה “משולבת” בטבלה 3. עבור CH, אנו דוחים את השערת האפס של שוויון הפרמטרים באמצעות מבחן יחס ההסתברות 3450.50 – עבור המודל המצורף לעומת 3419.26 – עבור הלא מצורפים, עם 4 דרגות של חופש; p-value) כ –). עבור QRE, אנו גם דוחים את השערת האפס של שוויון הפרמטרים (log-likelihood) 3462.96- עבור המצורפים לעומת 3434.2 – עבור הלא מצורפים, עם 2 דרגות של חופש;  p-value) כ ).

כי QRE הוא מקרה מיוחד של CH עבור הפיכת ערך לבדיד, אנחנו בודקים את השערת האפס של QRE נגד חלופה של CH, לכל גודל קבוצה. אנו יכולים לדחות את QRE באופן סטטיסטי לטובת CH באמצעות בדיקת יחס ההסתברות, עם ערכי p 0.004 עבור N =2  0.0002 עבור N = 4, ו 0.005 עבור N = 9.

האם להתאמה המשופרת משימוש במודל CH יש תועלת מעשית? טבלה 4 משווה את הנתונים האמפיריים, ההתאמה הטובה ביותר מודל CH, ואת המודל הטוב המתאים ביותר QRE, בשלוש כמויות רלוונטיות לשחקן פוטנציאלי במשחק. הן CH ו QRE חזו את ההוצאה הפרטית הממוצעת מקרוב. התגובות הטובות ביותר נגד המודל הטוב ביותר בהתפלגות  CH ו  QRE,הם גם מאוד קרובים לתגובה הטובה ביותר כנגד הנתונים האמפיריים. כלומר, אם שחקן משער שהמשחק יהיה לפי התפלגות CH  או QRE ואת התגובה הכי טובה להתפלגות זו, המשחק שלהם יהיה קרוב מאוד לתגובה הטובה ביותר אילו ידעו בדיוק את ההתפלגות האמפירית.

ההשלכות הכספיות של שגיאת אופטימיזציה זו נלכדות בקבוצה האחרונה של עמודות. קבוצה זו מציגה את הרווחים הצפויים של שחקן שמשחק את התגובה הטובה ביותר הנגזרת מהתפלגות CH או QRE, בהתאמה, כנגד הפצה אמפירית. עבור N = 2 ו- N = 4, המשחק את התגובה הטובה ביותר ל- CH, מקבל רק רווחים גבוהים יותר מאשר הטוב ביותר בתגובה ל- QRE, עבור N = 9, המשחק הוא משמעותית אגרסיבי כך שהתגובה הטובה ביותר היא אפס ההוצאה. היתרון המעשי של מודל CH הנמדד במונחי שכר, הוא זניח יחסית ל QRE.

מתמטית  מבטא את ההשפעה היחסית שיש לתמורות הכספיות על הבחירות, להבדיל מהשפעות של אחרים, השפעות אקראיות אחרות שלא נצפו. ערכים נמוכים יותר של  המתאימים להחלטות לוגיות היכן שהתמורות הכספיות בלתי צפויות בעלי יכולת שינוי גדולה יותר ולכן בעלי השפעה על ההחלטות. מאחר ו- מיועד במונחי שכר, האומדנים כבר לכדו כל ההבדלים בתוצאות ההחזר הצפויות של “שגיאות” כמו .N. לכן, העובדה ש   לא ניתן לייחס ירידה באומדנים ב – N בשני המודלים לשינויים באופטימיזצית הפרמיה בשל גודל הקבוצה. בנוסף, מבנה המשוב על פני הטיפולים היה זהה, כולל את סך ההוצאה של אחרים בקבוצה, בתחרות טולוק, מה שחשוב בקביעת התגובות הטובות ביותר הוא לצפות את סך ההוצאות הכולל ולא פר מספר המשתתפים האחרים.

רכיב הבחירה הלוגי של המודל הוא סטטיסטי ולא התנהגותי בטבעו. אין תיאוריה בסיסית או תיאור פרוצדורלי לגבי איך  מתרוממת בפועל. לכן אנו מתבוננים בהתנהגות ברמת המיקרו כדי לבחון את  הבסיס של הערכות שלנו של  יותר מקרוב. פרשנות אחת לערכים קטנים יותר של  היא כי שני הנושאים פחות מסוגלים כדי לזהות כיצד להתאים את ההתנהגות לשיפור הרווחים הצפויים, או פחות מעוניינים בכך. אנחנו יכולים לשאול האם יש ראיה שמראה כי נבדקים נוטים להסתגל בכיוונים אשר משפרים את הרווחים הצפוים. כיוון הלמידה התיאוריה של סלטן ובוצטה (1994) היא מודל היוריסטי פשוט שבו סוכנים מתאימים את הבחירות שלהם בתגובה לניסיון האחרון. תיאוריית כיוון הלמידה קובעת זאת, בהתחשב בפרופיל פעולה ששוחק בתקופה t, נבדק i בוחר בפעולה  בתקופה שלאחר מכן לכיוון התגובה הטובה ביותר נגד הבחירות של אחרים בתקופה הקודמת .

תוצאה 4. המשתתפים התאימו את ההחלטות בכיוון של התגובה הטובה, באופן פחות עקבי ככל שגודל הקבוצה N גדל.

תמיכה. טבלה 5 מסכמת, עבור כל גודל קבוצה, באיזו תדירות נבדקים מכוונים את ההוצאות לכיוון התשובה הטובה ביותר לטווח קצר, להוצאות על ידי השחקנים האחרים בתקופה הקודמת. עבור כל גודל הקבוצות, ב 40% מהמקרים, הנבדק בחר באותה הוצאה כמו בתקופה הקודמת. בין המקרים שבהם הנבדקים נבחרו להתאים את ההוצאות שלהם, יש השפעה של גודל הקבוצה. כאשר עומדים מול שחקן אחד בלבד, נבדקים ביצעו התאמה של ההוצאות שלהם בכיוון של התגובה הטובה ביותר ב- 64.9% מהמקרים. שיעור זה פוחת כקבוצה כאשר רק 49.2% מההתאמות עם N = 9 הולכות לכיוון התגובה הטובה ביותר.

אנו מבססים תצפיות אלה על ידי ביצוע שתי רגרסיות של לוח לוגיסטי, עם השפעה אקראית על ידי משתתף. הרגרסיה ראשונה בוחנת את הגורמים הקובעים האם משתתף משנה את רמת ההוצאה שלו מתקופה 1-t  לתקופה t.

תן ל- Xit להיות ההוצאות של משתתף i  בתקופה t. המשתנה התלוי הוא  1 אם ורק אם  . אנו כוללים כמשתנים עצמאיים משתני דמה  למשקל הקבוצה (כאשר N = 2 נלקחו כנקודת ההתחלה והושמט), מספר התקופה,  אם המשתתף זכה בתקופה  1-t, וכן מידה של שגיאת אופטימיזציה לשעבר שלאחר תקופה t . זו האחרונה המדד מחושב כדלקמן   להיות סכום ההוצאות של המשתתפים האחרים בקבוצת i של משתתף בתקופה 1- t. בהנתן זאת, אנו מחשבים את  להיות התגובה הטובה ביותר להתנהגות של המשתתפים האחרים בתקופה הקודמת. שגיאת האופטימיזציה על בסיס העובדות היא .

לוח 6 א מדווח על תוצאות רגרסיה זו. ניתן להסיק כי קיים אפקט לטיפול כאשר משווים N = 2 וN = 9; יש סיכוי נמוך משמעותית לשנות את ההוצאות בקבוצות עם N = 9 לעומת N = 2. זאת בניגוד לשכיחות המצטברת שדווחה בטבלה 5, המראה שכיחות התאמה קבועה יחסית בטיפול. האינטואיציה לכך היא כי בטיפול N = 9, הממוצע שלאחר שגיאת אופטימיזציה הוא הרבה יותר גדול. ברגרסיה אנו מוצאים שעובדתית גודל של שגיאת האופטימיזציה משמעותית ביותר בקביעת האם המשתתף מבצע התאמה בתקופה שלאחר מכן. שתי תופעות אלה פועלות בכיוונים מנוגדים: הסתגלות פחות מותנית בשגיאת האופטימיזציה בקבוצות גדולות יותר, אך שגיאת האופטימיזציה היא בממוצע גדולה בהרבה. ברגרסיה זו, אנו מוצאים גם הוכחה כי יש יותר הסתגלות בתקופות מוקדמות מאשר מאוחר יותר, וכי סביר יותר שמשתתפים יתאימו את עצמם לאחר הפסד בתקופה הקודמת.

ברגרסיה השנייה, אנו מתמקדים במקרים בהם הנבדק שינה את התנהגותו מהתקופה הקודמת. אנו עורכים רגרסיה של לוח לוגיסטי כאשר המשתנה התלוי הוא 1 אם ורק אם המשתתף משנה את ההוצאות שלו בכיוון (במרחב האסטרטגיה) של התגובה הטובה ביותר. אנו משתמשים באותה קבוצה של רגרסורים כמו במודל הראשון. לוח 6 ב מציג את אומדני הפרמטרים. אנו מוצאים כי גודל הקבוצה יש השפעה משמעותית, באופן משמעותי, ההתאמה פחות סבירה להיות בכיוון של התגובה הטובה ביותר כאשר הקבוצות הן גדולות יותר. גודל השגיאה האופטימלית שוב משמעותי, ככל שהטעות גדולה יותר, כך גדל כיוון השינוי לכיוון התגובה הטובה ביותר. מספר התקופה והאם הנבדק זכה בתקופה הקודמת, אינם משמעותיים.

5. מסקנה

בניסוי שלנו, שכפלנו את התוצאות שמציינות שההוצאה הפרטית הממוצעת היא משמעותית מעל ניבוי שיווי משקל נאש בתחרויות טולוק, שם התרומה מוגדרת לפחות בגודל הערך של הפרס. סדרת הניסויים שלנו מבודדת את ההשפעה של גודל הקבוצה, מחזיקה קבוע את הערך של הפרס ואת התרומה בעיצוב נושאים שונים. 10 תקופות הזמן אפשרו הזדמנות עבור נבדקים ללמוד ולעשות התאמות מניסיון קודם. אנו מוצאים שהוצאות פרטניות אינן מגיבות בממוצע לגודל הקבוצה, אבל התפלגות ההוצאות הפרטניות אכן תלויות בגודל הקבוצה. בגלל שהוצאות הפרט לא פוחתות בקבוצות גדולות, סך ההוצאה עולה על ערך הפרס עבור קבוצות של ארבעה שחקנים ותשעה שחקנים.

המודל הלוגיסטי היררכי-קוגניטיבי שלנו מאפשר לנו להירגע באופן עצמאי בנקודות קבועות, וההנחות הטובות ביותר של שיווי משקל נאש, עבור הן מודל היררכיה קוגניטיבית והן – QRE לוגי כמקרים מיוחדים. דרך העדשה של המודל הזה הנתונים שלנו מרמזים כי עבור קבוצות גדולות יותר, הפרמטרים הרציונליים במודל הם רחוקים יותר מרציונליות מושלמת, או, מאיזון, כי הרווחים הכספיים הצפוים במשחק הם פחות קשורים ליכולת ארגון התנהגות. לכן, עודף ההוצאות בקבוצות גדולות עולה משתי סיבות: כי יש הטרוגניות בחלטות מלכתחילה, ובגלל שהחלטות פחות קשורות לתמריצים כספיים בקבוצות הגדולות.

התוצאה שלנו על ההוצאה הפרטית הממוצעת עומדת בניגוד לספרות הקודמת, כמו כן בניגוד לתחזית שיווי משקל של נאש. המחקר הקרוב ביותר להשוואה ישירה הוא של אנדרסון וסטפורד (2003). המדגם שלהם היה בתוך נבדקים וחד פעמי. כל משתתף קיבל סט של שישה תרחישים וביקש לגבש הוצאות עבור כל אחד מהם. לאחר שהתקבלו כל ההחלטות, נבחר אחד התרחישים באקראי, ושיחקו את ההחלטה של הנבדק. סיבה אפשרית אחת לניגוד בתוצאות היא שהשיטה שלהם הציעה באופן ישיר שההחלטה על ההוצאות צריכה להיות תלויה במספר המשתתפים האחרים כאשר המשתתפים צריכים להרהר בתרחישים שונים של היריבים. בתכנון שלנו על נושאים שונים, המשתתפים ידעו את מספר המתנגדים שהם מתמודדים איתם, אבל לא התבקשו להרהר בגדלים של הקבוצות האחרות. באופן דומה, המשתתפים בניסוי של מורגן ואחרים, (2012) היו בתחרות עם מספר שונה של משתתפים במהלך המפגש.

אף על פי כן, בעוד שהרמז על מספר השחקנים בתחרות היה פחות ישיר בהגדרתנו, המידע הזה “היה צריך” להתעכל לאורך זמן, עם שחקנים שמגיבים טוב יותר למשחק אגרסיבי על ידי צמצום ההוצאות. החידוש שלנו הוא שהתוצאות הן הקישור בין פרמטרים רציונליים נמוכים במודל היררכי של הקוגניציה הלוגית שלנו,  ומפעם אחר פעם נעשות התאמות. הנבדקים נוטים פחות לשנות את רמות ההוצאות שלהם בקבוצות גדולות יותר, ומעבר לכך, זה מותנה בביצוע התאמה, ההסתגלות היא פחות סבירה להיות בכיוון של תגובה טובה יותר. זה מצביע על כך שהנבדקים מצאו את קבוצת תשעה השחקנים להיות סביבת למידה משמעותית ומאתגרת יותר.

ההשלכות של התוצאות התיאורטיות ושל הניסוי על התנהגות רועשת בתחרויות תלויות בתחום של היישום של המודל, ובאובייקטיביות של מתכנן הניסוי. במקרה של מחפשי שכר פוליטי, או מחקר ופיתוח מירוצים, אם ההוצאות מייצגות מאמצים אשר התפזרו במלואם בתחרות ואין להם זליגה, השלכה, או ערך פדיון חברתי אחר, אז התוצאות שלנו הן שליליות, זה יהיה אופטימלי מבחינה חברתית למנוע את קיומם של התחרויות, מאחר שהעודף נטו יהיה שלילי. עם זאת, אם התחרות נמצאת בשימוש למשל, בחברה כשיטה אחת לעידוד מאמץ העובדים, אז המודלים האלה מעריכים כי תחרויות עשויות להיות יעילות יותר באופן משמעותי בהשגת מטרה זו מאשר שיווי המשקל של נאש.

בעקבות מחקרים קודמים רבים, הצגנו את מודל התחרות בהוראות שלנו באמצעות לוטו או מסגרת הגרלה. השימוש בהגרלות ככלי גיוס כספים אומת עד כה כמו בניית החומה הסינית. בקנה מידה גדול יש הגרלות של המדינה, והן רווחיות למדי במדינות רבות. הגרלות בסולם זה מציעות סיכוי קטן לזכות בפרסים ענקיים משני חיים, “הזדמנות לקנות תקווה” (קלוטפלטר וקוק, 1989,1990, קוק וקלוטפלטר 1993). הגרלות מתרחשות גם בקנה מידה צנוע יותר כמו איסוף תרומות עבור בתי ספר, כנסיות, קבוצות קהילתיות, וכדומה. בניסויי מעבדה במסגרת הגרלה אין פרסים מסיבים, ההסתברויות קטנות, ואין אפשרות למניעים לצדקה. במסגרת זו, מודלים של התנהגות רציונלית מגובלת ברעשים, מנבאי הגרלות, יכולים להיות אפילו בקבוצות קטנות, בשל כמויות קטנות של רעש בקבלת החלטות.