Gale & Hellwig Incentive-Compatible Debt Contract-translation

חוזי החוב תואמי התמריץ של גייל והלוויג

Keywords: Optimal Contract, feasibility, Incentive-Compatibility, Interest-Rate-Taking Behavior, Credit-Rationing, Investment Level, Risk-Neutrality

ניצור חוזה חדש  באמצעות ההצבה

B’=0, אם f≥ 

B’=1, אם f< 

וגם

 = , אם B’=0

 =f-c₁, אם B’=1

נניח ש R =  , כשR₁– הוא ערכו הקבוע של C₁ כש B=0. בכל פעם ש B=B’, מתנאי הישימות (3iii) ומתנאי הבנייה של   נובע ש ≥C₁  . אם B'<B, התאימות לתמריץ מבטיחה ש  . מכיוון שמתנאי הישימות נובע ש B’≤B, הרי ש  ≥C₁ כש R  =  . לכן אפשר לבחור   שיתאים לתנאי איפוס הרווח על פי תנאי הישימות (3iii). (כלומר, אם יש כמה ערכים, יש לבחור בערך הנמוך ביותר). ע”פ המבנה שלו, החוזה ישים על פי תנאים (3iii) ו (3iv). התאימות-לתמריץ מתקיימת בכל חוזה חוב תקני (SDC) בעל השתתפות הון מרבית (MEP). לכן, חוזה   אפשרי, ומכיוון שהוכחנו קודם כי B’≤B, הוא תמיד מיטבי.

טענה 3: לכל חוזה מיטבי זיקה חלשה ל-SDC בעל MEP.

כדי שיקרה ההיפך, יש להניח שעלויות השמיכה על המצבים הטבעיים חיוביות ונתונות לשינויים מועטים בחוזה.

טענה 4:  יהי   חוזה מיטבי בעל MEP, ויהי R₁ ערכו של C₁ כאשר B=0. לכל    , נניח ש

ולכן,   הוא SDC. 

ההוכחה: יהי   ה-SDC שנגזר מ   כמתואר לעיל. מכיוון ששני החוזים מיטביים,

מכיוון ש B’≤B, ההשערה שבטענה רומזת ש ,ולא– תהיה ירידה מובהקת בעלויות הכרוכות בחוזה. לכן, אם  הם חייבים להיות שונים בכל סדרת מצבים לא-אפסית שבה  . אבל, מהנחה 2 ומההשערה שלנו נובע ש  , וזאת סתירה. לכן, .B=B’ מתנאי הישימות (3iii) ומאילוץ איפוס הרווח נובע ש c₁  .

במשך רוב המאמר נעסוק רק בחוזים מסוג SDC בעלי MEP. ניתן לאפיין אותם על פי הפרמטרים I ו-R₁. אם נתון הזוג הסדור  (I, R₁), אפשר לגזור את החוזה הייחודי   על ידי ההצבה C₀=A₀ והגדרת (C₁, B) בעזרת תנאי (4). ראשית, שימו לב שמההנחות שלנו נובע כי 

(5)  R₁  לכל חוזה מיטבי.

אם R₁ , מהתאימות-לתמריץ נובע ש 0 <₁ Cולכן מאילוץ איפוס הרווח  נובע ש I-W₀<0. מכאן ברור ש I=I^*, וזאת סתירה להנחה 3. ניתן גם להניח, ללא פגיעה ניכרת בכלליות, ש

(6)  , לכל חוזה מיטבי.

 כדי לגלות זאת, שימו לב שאם הסבירות היא 1 ל  , הרי ש C₀=A₀ ומאילוץ ההיתכנות (3iii) נובע כי B=1. מכאן שערכו של R₁ זניח.

על פי תנאים (5) ו-(6), הנחה 2, קיים γ שבו   (יש לבחור בערך הקטן ביותר, אם יש כמה מהם.). מכאן שאת החוזה   ניתן לייצג גם באמצעות הזוג הסדור   , ו כל זוג סדור   מגדיר חוזה אם מציבים  . γ נקרא “נקודת פשיטת הרגל”. יש לו הגדרה ייחודית כש I>0. במקרה כזה, תהיה פשיטת רגל אם ורק אם γ s<. פשיטת רגל לא תקרה רק אם I=0, ואז W₀=0.  לכל    מגדירים את הפונקציות  ו-  באמצעות ההצבה

(7)    f                      אם s≥ 

 c₁(s,l)-c₀                  אם   s<

וגם

(8) (s, l) = f(        אם s≥ 

  (s, l)= f(  c₁(s, l)                אם   s<

לכל 0≤(s, l). לכן את בעיית החוזים (3) ניתן לנסח כ:

 ובה נדון כעת.

הערה: עד עתה לא דנו האם החוזה שהגדרנו כמיטבי הוא הגיוני ליזם פרטי מסוים. התשובה על כך תלויה מאוד בחלופות, ובעיקר בשאלה האם היזם יפשוט רגל בתאריך 0 ובאיזה מחיר.  אם השאלה היא רק האם כדאי להסתכן, הרי שהתנאי לכניסה לחוזה צריך להיות

בהנחה שלא תיתכן צריכה שלילית.  אבל, אם היזם יכול לשמור על נכסיו הפרטיים מפני שיעבוד לחובות החברה, בזכות העירבון המוגבל, ולשלם קנס  c₀, הרי שהתנאי צריך להיות:

והוא מתקיים בכל פעם ש A₀=0 או R₀=0.

3- רמת ההשקעה המיטבית

משהגדרנו את החוזה המיטבי כחוזה חוב תקני בעל השתתפות הון מירבית, הבה נברר מה הקשר בין מצבי אי שוויון במידע לרמת ההשקעה, במצב שיש עלויות לפשיטת רגל או למידע, וליתר דיוק, האם הם מולידים הגבלת סכומי אשראי (credit rationing). כדי לענות על כך, יש להשוות בין  רמת ההשקעה השנייה בטיבה, במצב של חוזה התואם לתמריץ, לרמת ההשקעה הטובה ביותר, במצב של מידע מלא; וכמו כן, בין רמת ההשקעה השנייה בטובה לרמת ההשקעה הנובעת מהסתגלות לשיעור ריבית. 

3.1 ההשוואה עם ההשקעה המיטבית 

רמת ההשקעה המיטבית, I*, מתקיימת כשהיזם והמשקיע שומרים בעצמם על המצב הטבעי, ולכן

לכל   , מגדירים את הפונקציות   ו-   באמצעות ההצבה:

מהנחות 1-3 נובע ש  , וגם   , ולכן למקסימנדים  יש גבול עליון. מכיוון שהם גם רציפים, הרי שבכל מקרה יש להם ערך מרבי. המקסימום ייחודי מכיוון שf   היא פונקציה קעורה מובהקת, ו-c₁ קמורה בI- ולכן הפונקציות  ו-  מוגדרות היטב.

הפונקציות   ו- תוחמות את האזור שבו יש בין תועלתו של היזם לאת של המשקיע. בערך מסוים של  , המשקיע ירצה ש-I יתקרב ל- , ולעומת זאת, היזם ירצה שהוא יתקרב ל-  . לכן בחוזה יעיל, I צריך להיות בין   לבין , כפי שמוצג בטענה  הבאה:

טענה 5: אם (I, γ) הוא חוזה מיטבי, הרי ש  .

ההוכחה: לכל ערך של γ,  , כי הפונקציות f_γ ו-g_γ קעורות ב- I וכן  . אם (I, γ) הוא חוזה מיטבי, וגם I>I^* (γ ) , הרי שירידה קטנה ב-Iתגדיל את (9i) ואת (9ii), תוך סתירה לתנאי המיטביות] . בצורה דומה נוכיח ש  . טענה זאת היא ההוכחה העיקרית לקיומה של השקעת-חסר, כפי שנראה להלן. 

טענה 6: יהי   חוזה מיטבי ונניח ש   וש  לכן,  .

ההוכחה: מהגדרת הפונקציה   ברור ש  . מכיוון שהפונקציות 

-c₁  ו-f קעורות ב-I, הרי ש   היא ללא-יורדת מונוטונית. לכן מ-  נובע ש   לכל  . מכאן נובע ש   לכל  . לכן  , וזאת סתירה.

מטענה זאת נובע שאם יש סבירות חיובית לפשיטת רגל וגידול ברמת ההשקעה הטובה ביותר מגדיל את עלותה של פשיטת רגל בכל מצב, רמת ההשקעה השנייה בטיבה פחותה במובהק מרמת ההשקעה הטובה ביותר. ברור שההשקעה השנייה בטובה לא יכולה לעלות על ההשקעה הטובה ביותר, שכן  לכל γ≥0. אמנם תנאי טענה 6 אינם חזקים ביותר, אבל הם שוללים מצבים שבהם העלויות השוליות שוות לאפס למרות שעלותה של פשיטת רגל גבוהה, למ’ כש .C₁=0   (המקרה הזה נידון בטענה 7).  כאן אנחנו מניחים הנחות חזקות יותר מהנדרש לגבי התפלגות המצבים הטבעיים.

טענה 7: יהי   חוזה מיטבי, ונניח שההתפלגות של s במרווח  היא בצפיפות רציפה h וש-  . אם   או C₀>0, הרי ש  .

ההוכחה: נניח, בדרך השלילה, ש  . לכן נגדיר

 .

פונקציות u וגם C¹ הן בסביבת  . האילוץ של היגד קוהן-טאקר מתקיים, שכן  . לכן, מכיוון ש  ,וע”פ ההנחה  , הרי ש

מטענה 6 נובע שמוכרח להתקיים  , ולכן  . אבל כבר ראינו ש  , ולכן =0λ, לכן,  , וזאת סתירה ל  .

הערה: ההשערות שבשתי הטוענות מתייחסות לערך המיטבי של γ. מוטב להביע את התנאים האלה במשתנים של גורמים חיצוניים בלבד. בטענה 6, ניתן להחליף את ההנחה     בהנחה 

(12)  . 

W₀−I^* הוא הסכום שיידרש ליזם מימון ההשקעה הטובה ביותר. האגף הימני של המשוואה מבטא את ההכנסה המירבית הוודאית מהעסקה. כלומר, מהמשוואה נובעות שתי אפשרויות: או שיש סבירות חיובית לפשיטת רגל, או שמאילוץ איפוס הרווח  מתחייב I<I^*.

מטענה 7 ברור שבמקומה ניתן להניח כי  , ש-H בעל צפיפות חיובית רציפה בכל מקום ושמשוואה 12 מתקיימת, אולם הנחות אלה חזקות מהנדרש. 

ברור שההנחה שקיימת סבירות חיובית לפשיטת רגל איננה תנאי מספיק ל , כי אם C₁=C₀=0,הרי שמכל חוזה מיטבי מתחייב  ^*I=I . גם עלותה של פשיטת רגל איננה תנאי מספיק. גם אם נהפוך את כיוון אי השוויון, החוזה המיטבי יחייב  ^*I=I. כלומר, התנאים המספיקים הם פשיטת רגל שיש לה עלות וגם סבירות חיובית לפשיטת רגל.נציין זאת כאן ללא הוכחה:

טענה 8: יהי (I, γ) חוזה מיטבי. לכן, ^*I=I אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

1. D2c1=0 וגם =∞γ;
2. C₁=C₀=0
3. לכל  .

3.2 השוואות למצבים של הסתגלות למחיר (price-taking).

אמנם כיום מקובל להציג את התחרות בשוק חסר (Incomplete Market) כהסתגלות לרמת נצילות, אבל לעתים קרובות, בעיקר במחקרים מאקרו-כלכליים, הפעילות בשוק הון תחרותי בעל הגבלת אשראי מתוארת כ”הסתגלות למחיר”, למ’ אצל Hodgman (1962) ואצל Jaffee & Russel (1976). לענייננו, “הסתגלות למחיר” פירושה שהלווה מניח שיוכל לקבל כל סכום בשיעור ריבית מסוים. כדי להגיע לאיזון, שיעור הריבית צריך לציית לאילוץ איפוס הרווח של המלווה, אבל כשהלווה בוחר ברמת ההשקעה המיטבית הוא מתעלם מהקשר הזה. כתוצאה מאותה הסתגלות למחיר (בעצם, הסתגלות לשיעור הריבית), נוצר חוזה מסוג מיוחד. למען הפשטות, נניח ש C₀=0. חוזה (I, γ) נובע מהסתגלות לשיעור הריבית בשלושה תנאים: ראשית, היזם בוחר בערך של I  שיגדיל ככל האפשר את נצילות השוק הצפויה, בהנחה יוכל ללוות כל סכום בריבית בשיעור r:

(13)   

שנית, הכנסת המשקיע מכסה בדיוק את עלות החוזה:

(14)   

שלישית, שיעור הריבית המוערך הוא זה שהיזם משלם ללא פשיטת רגל:

(15)    

המסקנה המתבקשת היא שבמצב של הסתגלות לשיעור ריבית, ההשקעה תהיה גדולה מזאת שבמצב של הסתגלות לרמת נצילות השוק (utility-taking), באותו שיעור ריבית מוערך, אבל אין לדעת אם שיעור הריבית במצב של הסתגלות לשיעור ריבית יהיה גבוה יותר משיהיה במצב של הסתגלות לרמת נצילות. אולם ברור שהסבירות לפשיטת רגל תהיה גבוהה יותר במצב של הסתגלות לשיעור ריבית. ההנחה ש W₀>0  מבטיחה שתהיה ירידה חדה ב-I (ראו טענה 9), ומקלה על ההוכחה של טענה 10.

טענה 9: נניח שחוזה ( I, γ) נובע מהסתגלות לשיעור ריבית, ש 0< [Pr [s<γ, וש W₀>0  לכן, I>I^* (γ) .

ההוכחה: ברור ש I=0איננו מצב מיטבי. לכן, אם נגדיר g=f-c₁ , הרי שתנאים (14) ו-(15) נובע ש

 או ש

 לכן, מתנאי (13) נובע ש

 ומכאן ש

מכיוון שפונקציה  (s,∙)  קעורה, ו I-W₀<I, נקבל 

טענה 10: יהי ( I, γ) חוזה מיטבי ו חוזה שנובע מהסתגלות למחיר. לכן,  ,אם    מקיימים את תנאי טענה 9.

ההוכחה: מכיוון ש    , הרי ש   ישים. אם   , אז

הערה: בחיבורם משנת 1983, גייל והולווג מגמישים את התנאי W₀>0, ומוכיחים ש  כשמתקיימים הקשרים הבאים בין הפונקציות:

המסקנות מההשוואה בין התוצאות של הסתגלות לשיעור ריבית לאלה של הסתגלות לנצילות שוק אינן חד משמעיות בנוגע ל  I-. המסקנה הברורה ביותר שניתן להסיק מכאן היא הטענה הבאה. 

טענה 11: אם נניח שתנאי טענה 10 מתקיימים, הרי ש 

1.   אם  
2.   אם  

ההוכחה: מאילוץ איפוס הרווח נובע,

לכן, מתנאי (i) נובע

מקעירות הפונקציה נובע

אם ,  הרי ש-  . טיעונים דומים תקפים גם במקרה של הסתגלות לנצילות-שוק.  

הערה: בחיבורם משנת 1983, גייל והולווג דנים גם במקרה שבו W₀<0 במשוואות (16) ו-(17). מטענה 11 נובע שההשקעה במצב של הסתגלות לשיעור ריבית תמיד גדולה יותר כשהפונקציה g (s, l) עולה ב-γ, וכך גם במשוואה (17) אם     וגם 0 .

4. השפעת ההימנעות מסיכונים (Risk-Aversion) על החוזה המיטבי.

מתברר שרוב ההסברים תקפים גם כאן, למרות שצורת החוזה שונה. לצורך הפשטות נניח שהמשקיע אדיש לסיכונים, ושגם כאן C₀=0. אין צורך להניח שקיימים קנסות לא כספיים במצב כזה. יש צורך בהנחת האדישות לסיכונים כדי לנתח את החוזה המיטבי בין משקיע ליזם במנותק משאר החוזים של המשקיע. בנוגע ליזם,יש יסוד לשער שהוא אדיש לסיכונים, בזכות איגום סיכונים (risk-pooling). ההנחה סבירה פחות בנוגע ליזמים, ולפעמים יש צורך להגמיש אותה.

לכן, נניח שנצילות השוק של היזם היא בצורת פונקציית נוימן-מורגנסטן קעורה מובהקת U(W₁) בעלת כל המאפיינים המתמטיים הרגילים. השינויים בפונקציה אינם משפיעים על תנאי החוזה המיטבי בבעיה (3). ולכן ברור מיד שתנאי בעיית החוזה המיטבי הם:

(16i) max EU(W₁)

(16ii) (s.t. EC₁ ≥(1+i)(I+R₀-C₀

(16iii)  W₁+C₁≤f-Bc₁+(1+i)(A₀-C₀);

(16iv) l ≥0,  0  ≤C₀≤A₀ , W₁≥0; 

(16v) לערכים מסוימים של R₁,≥Bc₁   B(R-C₁), וגם (1-B)(C¹-R)=0.

טענה 2 מתקיימת גם במצב כזה. כל חוזה מיטבי בתנאי משוואות (16) בעל זיקה קלושה לכללי ה-MEP. ההוכחה היא כמו במקרים הקודמים. טענה 3 אינה מתקיימת. לפי תנאי (16v), C₁=R₁ אם הפירמה לא פשטה את הרגל. במקרה של פשיטת רגל, בדרך כלל  W₁>0, ולכן C₁<f-c₁. למשל, אם U'(0)=∞,  W₁>0  כמעט בכל מצב. אולם עדיין מתקיים התנאי הבא:

(17) ל-D קבוע מסוים, B(W₁-D)=0.

מכיוון שהיזם מתחמק מסיכונים והמשקיע אדיש לסיכונים, היזם מבוטח לגמרי במצבים שבהם שני הצדדים פועלים באותו מצב.

בפרק זה אנו מניחים שהמצבים הטבעיים מפוזרים בצורה רציפה. מכאן שנוצר חוזה מיטבי שבו  . כדי לגלות זאת, נבחר ערך γ שבו הסבירות לפשיטת רגל זהה לזאת שבחוזה המיטבי הנוכחי. מהנחה 2 נובע שאין ירידה ב f-Bc₁ במצב זה, הסבירות ל W1=D אינה משתנה ויש להתפלגות הקודמת זיקה אקראית חלשה ל (1-B)(f-R₁). במצב של אדישות לסיכונים, לכל חוזה מיטבי יש זיקה חלשה ל SDC(l, R₁)  ,וכאן לחוזה שהפרמטרים שלו הם (l, γ, R₁, D). במצב כזה אין צורך ש”נקודת פשיטת הרגל” γ תקיים את ( γ, l R₁=(.    

טענה 4: כבר הוכחנו שלחוזה מיטבי יש זיקה חלשה לחוזה  שבו  . זהו תנאי הכרחי למיטביות של החוזה, במקרה של חיסכון חיובי בעלויות פשיטת הרגל, כגון במקרה של גידול מובהק של c₁(s,l) ב-s, וסבירות חיובית לפשיטת רגל.

טענה 5 מתקיימת גם כאן, ומתקיים חוזה מיטבי שהפרמטרים שלו הם (l, γ, R₁, D):

(18i)  

(18ii)  

(18iii) I≥0, 0 ≥γ, 0 ≤ D, וגםf (s, l)−R₁≥0, כש γ s≥;

(18iv) D  f (s, l)−R₁≤.

ארבעת התנאים האחרונים הם גרסאות פשוטות של האילוצים במשוואות (16). (18iv) הוא התנאי היחיד של התאימות לתמריץ. אם  , גידול קטן ב-l ושינוי ב-R₁ שישאיר את   f (s, l)−R₁קבוע, יועיל לשני הצדדים וגם יבטיח שתנאי (18iv) יתקיים. אם l>l^*(γ), הרי שירידה קטנה ב–l ,ושינוי ב- R₁ שישאיר את  f (s, l)−R₁ קבוע יועיל בוודאות למשקיע. אם D ישתנה כך שתנאי (18ii) יתקיים בדיוק, הרי שאם D>0 ואם ידוע ש

נגלה בחישוב פשוט ש  .

טענות 6 ו-7 ממשיכות להתקיים, כי התנאי היחיד לקיומן הוא   והתכונות של פונקציות   ו-  .

טענה 8 ממשיכה להתקיים בבירור, בלי קשר לפונקצית היזם. 

מכיוון שניתוח הסתגלות לשיעורי ריבית מסובך בהרבה במצב של הימנעות מסיכונים, ולא ברור האם טענות הדומות לטענות 9 ו-10 מתקיימות במצב זה.

5. מונוטוניות

גייל (  1983aו-1983b) הוכיח שאילוצי נזילות מפחיתים את הביקוש לעבודה בפירמה ממש כמו אילוצים כמותיים, ואפילו משפיעים על הביקוש ממש כמו אילוצים כמותיים. למשל, למדיניות המיסוי וההשקעות השפעה מכפילה (כלו’ ביחס ישר להיקף ההשקעה והמיסוי) על התעסוקה והתפוקה, כמו שמנבאים דגמים קינסיאניים פשוטים. במאמר זה הוכחנו שירידות ממשיות בביקוש מתרחשות גם במצבים של פשיטת רגל והחוזים כלליים ומיטביים. (למשל, גייל ( 1983aו-1983b) הניח היעדר מוחלט של פשיטת רגל). מתברר שהפחתה בנזילות איננה חייבת להחמיר את המחסור בהשקעות. למשל, נניח ש c₁=0  וש c₀>0, וששני הצדדים אדישים לסיכונים. אם W₀  די גדול, אז l=l*  , כאמור בטענה 10. אבל, אם W₀ די קטן בכדי לקיים את Pr[s≤γ]=1 , הרי ש  . ליתר דיוק, אם c₁=0, הערך של Eg_γ מירבי לגבי γ כש   . 

כאשר , החוזים היחידים המקיימים את תנאי איפוס הרווח הם בצורת (l*, γ) כש  . לכן, l=l*   לערכים גבוהים ונמוכים של W₀. אבל, לפי תנאי טענה 9, לערכים בינוניים מסוימים של W₀, l<l^*, ולכן פונקציית הקשר בין l^* ל- W₀היא לכל היותר עלייה לאחר ירידה, או להיפך. 

טענה 13: נניח ש c₁=0, c₀>0 וש-H בעל צפיפות רציפה וחיובית ב  . לכן, הערך המיטבי של l אינו יכול להיות מונוטוני ב-W₀. דוגמה זאת איננה חריגה כלל וכלל. (מאמרם של גייל והלוויג מ-1983 כולל חקירה ממצה של מבנה הדגמים שמתוארים במשוואות (16) ו-(17)).