כלכלה How naive is the stock market’s use of earnings information

עד כמה נאיבי השימוש של שוק המניות במידע רווחי?

כללי

רנדלמן, ג’ונס ולטאנה (1987) וברנרד ותומאס (1990) מעלים השערה ומביאים ראיות כי משקיעים משתמשים במודל הילוך מקרי נאיבי עונתי, באופן חלקי לפחות, עבור רווחים רבעוניים. אנו מראים כי השוק מתנהג כאילו הוא: 1) אינו משתמש במודל הילוך מקרי עונתי פשוט; 2) כן מנצל מתאם סדרתי בשיהוי זמן 1-4 ברווחים רבעוניים בעלי הפרש עונתי; 3) כן משתמש בסימונים הנכונים בעת ניצול מתאם סדרתי בשיהוי זמן; אבל 4) ממעיט בהערכת גודל המתאם הסדרתי בשיעור של כ-50% בממוצע. במאמר זה נדון בעקביות של השערות חלופיות העולות מהנתונים.

1. הקדמה

רנדלמן ועמיתיו (1987) העלו השערה כי משקיעים אינם מודעים לכך כי הרווחים הרבעוניים בעלי הפרש עונתי של החברה הם בעלי מתאם סדרתי. כתוצאה מכך, המשקיעים אינם מנצלים באופן מלא את המידע לגבי שינויי רווח בעבר, ולכן חוזים שינויי רווח עתידיים באופן מופחת. ברנרד ותומאס (1990) העלו השערה כי מכיוון שהמידע לא מנוצל באופן מלא, ניתן לחזות תשואה אבנורמלית בהכרזת רווח בהתבסס על רווחים קודמים.

בעוד שהראיות שהציגו חוקרים אלו אכן תומכות בהשערה כי השוק אינו מנצל באופן מלא את המידע לגבי שינויים ברווחי עבר, הן אינן מסבירות באופן מספק את המידה בה השוק כן משתמש במידע זה. יתרה מכך, פירוש המידע הינו מסובך עקב מסקנות בלתי ברורות או מעורפלות. לדוגמא, ברנרד ותומאס מסיקים כי “בעוד שמחירים אכן משקפים באופן חלקי את המידע לגבי רווחי עבר הנוגע לרווחי עתיד, הם אינם משקפים את כל המידע המצוי”. קשה להבין מה בדיוק הפירוש של “חלקי” בהקשר זה: האם מדובר במידע לגבי חלק מהמרכיבים של מודל תוחלת רווח אופטימלי (עונות, הילוך מקרי, סחיפה, מתאם סדרתי), מידע חלקי לגבי הפרמטרים של המודל האופטימלי, או שילוב כלשהו של שניהם? בניסיון להבהיר נקודה זו, אנו נחקור את מודל התוחלת אותו ניתן להסיק מתגובת השוק לרווחים רבעוניים בעלי הפרש עונתי.

בהסתמך על הנתונים של ברנרד ותומאס, אנו מראים כי השוק אינו מתנהג בהתאם למודל תוחלת נאיבי. תגובת המחיר לרווחים שוטפים הינה עקבית לכך שהמשקיעים מודעים לדפוס הסימונים של מתאם סדרתי ברווחים רבעוניים בעלי הפרש עונתי. השוק מתנהג כאילו הוא מודע לסימני המתאם הסדרתי בכל אחד מארבעת שיהויי הזמן, ובכל אחת משלושת קבוצות הגודל של ברנרד ותומאס. יחד עם זאת, אנו מראים גם כי השוק מפחית בהערכת גודל המתאם הסדרתי, בשיעור של כ-50%.

הממצא כי השוק מתנהג באופן המודע למתאם הסדרתי אינו סותר את האנומאליה האמפירית אותה מצאו רנדלמן ועמיתיו (1987) וברנרד ותומאס (1990). על כל פנים, התוצאה עוזרת להבהיר את האנומאליה ומספקת נתונים חדשים המסייעים למציאת מקורה. שימוש בצורה הנכונה של מודל סדרה עתית עבור רווחים רבעוניים, אך תוך שימוש בפרמטרים שגויים לכאורה, שונה איכותית משימוש במודל שגוי לחלוטין. התוצאה שוללת את השערת מודל התוחלת הנאיבי. במקום זאת, היא מצביעה על מקורות אפשריים להטיה של משקיעים בעת הערכת המתאם הסדרתי, או לחלופין להטיית החוקרים בעת הערכת יכולת הרווחים לחזות תשואה אבנורמלית.[1] 

2. השערת “מודל התוחלת הנאיבי”

היכולת של מידע לגבי רווחים שוטפים לחזות תשואה עתידית אבנורמלית, הידועה בתור “סחיפה לאחר הכרזת רווח”, הייתה מוקד לתשומת לב רבה לאחר המחקר של בול ובראון (1968). רנדלמן שיער כי לפחות חלק מסחיפה זו נגרמת כתוצאה מחוסר הבנה של המשקיעים לגבי התנהגות הסדרה העתית של הרווחים: “אם המשקיעים אינם מזהים את המתאם הקיים ב-SUEs (standardized unexpected earnings, רווחים מתוקננים בלתי צפויים) לאורך זמן, מחירי המניה לא יתאזנו לפי מחיר שיווי המשקל בעת הכרזת הרווח. יחד עם זאת, בתקופה העוקבת, התשואה העודפת צריכה להיחשב כריאלית כאשר מחירי המניה מתאזנים בהתאם ל-SUE של הרבעון הבא, אשר מתואמים במידה רבה עם אלו של הרבעון הנוכחי”

SUE מוגדר כשינוי ברווח ביחס לרבעון המקביל בשנה הקודמת, תוך התחשבות בסטיית תקן. ההשערה אומרת כי משקיעים משתמשים בגרסא עונתית של “המודל הנאיבי” של בול ובראון, כלומר מודל הילוך מקרי עונתי.[2] ההשערה כי המשקיעים אינם מודעים לאפשרות הניצול של המתאם הסדרתי בטעויות החיזוי של המודל. באופן מנוגד, קיומו של מתאם סדרתי ברווחים רבעוניים בעלי הפרש עונתי הינו ידוע לחוקרים כבר מעל שני עשורים.[3] אם משקיעים הם נאיביים יותר מחוקרים בכל הנוגע לתוחלת רווח, אז ייתכן וחוקרים יוכלו להרוויח תשואה אבנורמלית על ידי סחר באמצעות מודלים מתוחכמים יותר. לפי רנדלמן, מצב זה אכן אפשרי.

ברנרד ותומאס מציעים בחינה יותר ישירה ויסודית של השערה זו. הם בוחרים להתמקד בתשואה אבנורמלית בעת הכרזת הרווח, ומראים כי ניתן לחזות זאת באמצעות מודל המנצל את סימוני (+,+,+,-) של המתאם הסדרתי, לאורך ארבעת שיהויי הזמן, ב-SUEs.[4] לדוגמא, ברנרד ותומאס בונים סימולציה של אסטרטגיות סחר אשר מיושמות בזמן הכרזת הרווח, אך מבוססות על רווחי עבר. פוזיציות לונג נכללות בעשירון של מניות SUE הגבוהות ביותר בעבר, ופוזיציות שורט נכללות בעשירון של מניות SUE הנמוכות ביותר בעבר. הסימולציה מראה רווחי תשואה אבנורמלית משוערת של +1.32%, +0.70%, +0.04%, -0.66% (סטטיסטיקת טי של +14.63, +8.46, +0.45, -7.86, טבלה 2) כאשר מתבססים על הכרזת הרווח של 1-4 רבעונים קודם לכן, בהתאמה. מנתונים אלה עולה תשואה אבנורמלית של +2.72% ברבעון ממוצע כתוצאה מסחר המבוסס על מידע ישן.[5] הרגרסיות במדגם המלא מראות תוצאות דומות.

אחד היתרונות הבולטים במחקר של ברנרד ותומאס הוא הפיתוח והבחינה של חלופה ניתנת להפרכה לתיאוריית השוק היעיל. אם תשואות אבנורמליות אינן 1) מתגלות בזמן הכרזת הרווח הרבעוני הבא ו-2) תוצר ניתן לחיזוי של  SUEקודם, פירוש הדבר הוא שהחלופה הופרכה. באופן ברור לחלוטין, זהו אינו המצב. יתרון נוסף למחקר הוא שהתוצאות עמידות במיוחד בפני בעיות העולות כתוצאה ממדידת תוחלת הרווח, מכיוון שהתשואות האבנורמליות המשוערות מתייחסות רק לאינטרוולים של שלושה ימים בלבד (כלומר אינטרוולים קצרים מספיק בכדי להראות תוחלת רווח “קטנה”), והן חיוביות במהלך כל 13 שנות המחקר (כלומר עקביות מספיק כדי להסיק שהן לא נובעות כתוצאה מסיכון בלתי ידוע כלשהו).[6] יתרה מכך, המדגם מקיף למעלה מ-800,000 הכרזות רווח, ותוצאותיו אוששו על ידי פרימן וטסה (1989), ויגינס (1990), אברבנל ותומאס (1992), ברטוב (1992), ביי, יוז ולי (1995), ובול וברטוב (1995). יתרונות אלו של תכנון המחקר, יחד עם האופי החד משמעי של התוצאות, עוזרים להסביר את ההשפעה הנכבדת של מחקרם של ברנרד ותומאס על התפיסות המקובלות לגבי היחס בין רווחים ומחירי מניות.

אף על פי כן, קיים בלבול בקשר להשלכות של ממצאים אלו. רנדלמן הסיק כי משקיעים משתמשים במודל הילוך מקרי עונתי פשוט, מבלי להתייחס למתאם הסדרתי ב-SUE. ברנרד ותומאס (1990) הגיעו למסקנות דומות: “שוק מניות שבו המחירים מושפעים מסוחרים הנשענים על השוואות משנה לשנה של רווח רבעוני, באופן הדומה לעיתונות הכלכלית בעת דיווחיה על הכרזות רווח, מייצגים מגמה מטרידה של התרחקות מהתחזיות העולות מהמודלים הקיימים של שווקים יעילים”.

פרשנות זו מניחה כי המשקיעים מודעים לאופי ההילוך המקרי של הרווחים, אך שוגים ביישום המודל עבור רווחים עונתיים (רבעוניים). ברנרד הגיע למסקנה חותכת אף יותר: ” השוק אינו מצליח להעריך באופן מלא אפילו את התכונות הבסיסיות ביותר של התפתחות הרווחים”. במידה מסויגת יותר, ברנרד ותומאס העריכו כי: “מה שאנחנו חוקרים כאן זו האפשרות כי מחירי השוק משקפים באופן חלקי תוחלת נאיבית”.

אך אפילו מסקנות אלו הן מעורפלות, במספר מובנים. ראשית, ניתן לקבל את הרושם כי השוק לחלוטין אינו מודע למתאם הסדרתי בטעויות החיזוי של מודל הילוך מקרי עונתי. לא ניתן להבהיר זאת באמצעות הרגרסיות אותן מצאו ברנרד ותומאס, אשר אינן מספקות הערכה באיזו מידה השוק מגיב כאשר הוא כן מודע למתאם הסדרתי. זו גם אינה מטרתן. שנית, לא ברור האם “חלקי”, בהקשר זה, מתייחס למידע חלקי בנוגע למרכיבי מודל החיזוי הנכון (הילוך מקרי, סחיפה, עונתיות, קיומו של מתאם סדרתי, סימני המתאם בכל שיהוי זמן), או למידע חלקי בנוגע לערכי הפרמטר במודל הנכון. שלישית, אם הכוונה היא לפרמטרים, האם מדובר בהמעטה מערכתית של כלל הפרמטרים של כל המניות, הערכה מערכתית מוגזמת, או טעויות רנדומליות בערך הפרמטרים לאורך זמן או עבור כלל המניות? כדי להבהיר נקודה זו, אנו מציעים מספר בדיקות ישירות.

3. בדיקה ישירה של השערת “מודל התוחלת הנאיבי”

בחלק זה נבדוק את מודל התוחלת המשתמע מתגובת המחירים לרווח השוטף, תוך שימוש ברגרסיה (1):

CAR₀ = k + aₒSUE₀ + a₁SUE₋₁ + a₂SUE₋₂ + a₃SUE₋₃ + a₄SUE₋₄ + u₀

המשתנה הבלתי תלוי הראשון (SUE שוטף) מוכרז בעת “חלון האירוע” שבו המשתנה התלוי (CAR) נבדק. המשתנים הבלתי תלויים האחרים (SUEs בשיהוי זמן) מודדים מרכיבים של תוחלת ה-SUE השוטף. אנו משתמשים במקדמים המשוערים על ה-SUE בשיהוי, תוך בקרת רגרסיה עבור SUE שוטף, על מנת להסיק עד כמה משקיעים משלבים את המידע לגבי הרווחים בארבעת הרבעונים הקודמים כשאר הם מגבשים תוחלת רווח. חלק זה מבאר את הרציונל בבסיס מסקנות אלו.

מחקרים קודמים מראים כי SUEₒ ניתן לאומדן כפונקציה ליניארית של SUE בשיהוי זמן (2):

SUE₀ = b₀ + b₁SUE₋₁ + b₂SUE₋₂ + b₃SUE₋₃ + b₄SUE₋₄ + Ɛ₀

כאשר b₁, b₂, b₃ > 0,b₄ < 0, ו- Ɛ₀ הוא ה”רעש לבן” של החידוש ברווח השוטף. השאלה הנידונה היא מידת התגובה של השוק כאשר הוא מודע לפונקציה 2, והערך של מקדמים b₁ עד b₄. על מנת לענות על שאלה זו, נשווה את ערכי המקדמים המשוערים מנתוני הרווח (2) עם אלו העולים משימוש השוק במידע לגבי רווחי עבר (1).

תחילה נבחן את המקרה בו השוק מודע לחלוטין לגבי התהליך המייצר את SUE, כולל ערכי הפרמטרים, ומנצל את המידע באופן מלא לגבי רווחי עבר. כלומר, ההנחה היא כי השוק פועל כאילו שפונקציה 2 מתארת באופן הנכון ביותר את תהליך הסדרה העתית של הרווח. במקרה כזה, תגובת המחיר (CAR₀) היא ליניארית בחידוש הרווח (Ɛ₀) בלבד (3):

CAR₀ = α + βɛ₀ + ω₀

כאשר β > 0  ו- ω₀ הוא רעש לבן. ממשואות 2 ו-3 נובע כי (4):

CAR₀ = α* + βSUE₀ – b₁βSUE₋₁ – b₂SUE₋₂ – b₃SUE₋₃ – b₄SUE₋₄ + ω₀

כאשר α* = α-b₀β. מקרה זה של מודעות מלאה חוזה גם את הסימנים וגם את הערך של המקדמים על SUE בשיהוי זמן, כאשר הרגרסיה מבקרת את SUE₀.

ברגרסיה של משוואה 1, כאשר השוק מודע לחלוטין לגבי תהליך הרווח, סימוני המקדמים של SUE בשיהוי זמן מראים דפוס סימנים של (-,-,-,+). דפוס זה הוא הפוך ביחס לדפוס סימנים (+,+,+,-) במתאם הסדרתי של SUE במשוואה 2. היפוך זה מתרחש מכיוון שתשואה אבנורמלית הינה פונקציה גדלה של החידוש הרווחי Ɛ₀ [ = SUE₀ – E(SUE₀)], ולכן היא גם פונקציה יורדת של E(SUE₀). יש לציין כי הסימנים המשוערים של המתאמים ב-SUE בשיהוי הם גם הפוכים ביחס לאלו שדווחו על ידי ברנרד ותומאס (טבלה 5), כאשר רגרסיות אינן מבקרות SUE שהוכרזו באופן שוטף.

יתר על כן, ברגרסיה של משוואה 1, הגודל והסימון של מקדמי SUE קודם, ניתנים לחיזוי תחת ההשערה כי השוק מיודע לחלוטין לגבי תהליכי הרווח. אם לשוק יש מידע מלא לגבי צורת התהליך המייצר SUE , והערכים של מקדמי המתאם הסדרתי, אז הערך המשוער של המקדמים של SUE₋₁, SUE₋₂, SUE₋₃, SUE₋₄ הם -b₁β, -b₂β, -b₃β, -b₄β, בהתאמה. ניתן להעריך את β כ- α₀, המקדם של SUE שוטף במשוואה 1, ו-b₁ עד b₄ ניתנים לאומדן כמקדמי מתאם חלקיים ברווחי שיהוי זמן ברגרסיה 2.

עתה נבדוק את המקרה בו משקיעים משתמשים מודל הילוך מקרי עונתי נאיבי, ללא ידע לגבי המתאם הסדרתי ב-SUE (זו ההשערה המקורית של רנדלמן). כך, המקדמים המשוערים ב-SUE בשיהוי זמן הם אפס. כלומר, CAR₀ הוא בלתי תלוי ב- SUE₋₁, SUE₋₂, SUE₋₃, SUE₋₄, כאשר מבקרים עבור SUE₀, מכיוון שבמקרה זה המשקיעים מגיבים רק לשינויים ברווחים שוטפים ומתעלמים מאפשרות הניבוי כתוצאה משינויים ברווחי עבר.

לבסוף, נבדוק את התרחיש בו השוק משתמש במודל התוחלת הנכון, אך מעריך או ממעיט באופן שיטתי את גודל המתאם הסדרתי ב-SUE. כך, המקדמים המשוערים ב-SUE בשיהוי זמן הם גדולים (קטנים) בערך המוחלט מאשר הניבוי במקרה בו השוק מיודע לחלוטין. כאשר מתייחסים לערך הנקוב, אומדן המקדמים ב- SUE בשיהוי זמן מספקים ראיה להערכת השוק את גודל המתאם הסדרתי ב-SUE.

4. נתונים

הנתונים במחקר של ברנרד ותומאס מבוססים על תשעה שינויי רווח לפחות (עשרה רבעוני רווח) כדי לאמוד את מרכיבי הסחיפה וסטיית התקן של SUE, ובנוסף ארבעה SUEs  בשיהוי זמן רצופים עבור הרגרסיה. אנו דורשים תצפית עוקבת נוספת אחת כדי לאפשר ביקורת עבור SUE שוטף.[7] הדגימה שלנו מורכבת מ-70,728 הכרזות רווח רבעוני של חברות NYSE-AMEX בין השנים 1974-86.

המשתנים בנתונים של ברנרד ותומאס הם רווחים (SUE) ותשואה (CAR) לפי חברה ורבעון. SUE הם רווחים רבעוניים בעלי הפרש עונתי לכל מניה, תוך סילום לפי סטיית התקן העולה מאומדן תצפיות עבר, דירוג עשירוני לפי חתך רוחב, ולאחר מכן סילום עבור טווח האינטרוול. CAR הם תשואות יומיות הנצברות בחלון של שלושה ימים (-2,0), כאשר 0 הוא יום הכרזת הרווח.

5. תוצאות

תחילה אנו משחזרים תוצאות קודמות בדגימה שלנו. לאחר מכן אנו מראים כי השוק משלב SUEs בשיהוי זמן במודל תוחלת הרווח, ומשווים זאת לתוצאות קודמות. לבסוף, אנו מתייחסים להשפעת הגודל כמשתנה, כולל השפעות של הישרדות. בהתבסס על ברנרד ותומאס, אנו אומדים את כלל הרגרסיות מתוך נתוני חתך רוחב וסדרות עיתיות כוללים.

5.1 שחזור תוצאות קודמות

טבלאות 1 ו-2 מאששות את נתוני העבר בדגימה שערכנו. טבלה 1 מראה רגרסיות כוללות של SUE בערכי ארבעת שיהויי הזמן. המקדמים הם אומדני מתאמים סדרתיים חלקיים מתוך רגרסיה מרובה, בדומה למשוואה 1. הסימנים הם לפי דפוס (+,+,+,-). התוצאות עבור חברות קטנות, בינוניות וגדולות הן זהות.

טבלה 2 משחזרת בקירוב את הרגרסיה הכוללת של תשואות מותאמות לגודל לאורך שלושה ימים (CAR) על ערכי ארבעת שיהויי זמן של SUE בניסוי של ברנרד ותומאס.[8] ברגרסיה זו אין בקרה עבור הכרזות SUE שוטף.

הערכים המוחלטים של המקדמים בארבעת שיהויי הזמן מסתכמים ב-2.44%, בהשוואה ל-2.59% של ברנרד ותומאס. ניתן לפרש תוצאה זו כאומדן הרגרסיה של התשואה האבנורמלית מניצול המתאם הסדרתי.

טבלה 1

ניבוי SUE שוטף על בסיס SUEs בשיהוי זמן: מתאם סדרתי ברווחים רבעוניים בעלי הפרש עונתי.

פאנל A: דגימה כוללת; פאנל B: לפי גודל החברה (חברות קטנות, חברות בינוניות, חברות גדולות). הגדרות המשתנים הן זהות לאלו במחקר של ברנרד ותומאס (1990). SUEi,t הוא טעות החיזוי של חברה i ברבעון t מהילוך מקרי עונתי עם מגמה, עם סילום לפי סטיית התקן של האומדן התקופתי. עשירוני SUE מבוססים על דירוגים בתוך הרבעון הקלנדרי של הכרזת רווחי רבעון t. בכל הרגרסיות, ערכי המשתנים של SUE מוחלפים על ידי דירוגי העשירון שלהם ולאחר מכן עוברים סילום כך שהטווח שלהם הוא 0 (עבור העשירון התחתון) עד 1 (עבור העשירון העליון). חברות קטנות, בינוניות וגדולות נמצאות בעשירוני גודל 1 עד 4, 5 עד 7 ו-8 עד 10, בהתאמה. מבוסס על שווי הון שוק נכון ל-1 בינואר. ערכי P מצוינים בסוגריים.

טבלה 2

היחס בין התשואה בהכרזת רווח שוטף לבין רווחים רבעוניים בשיהוי זמן, רגרסיה של ברנרד ותומאס, ללא ביקורת עבור רווחים שוטפים. פאנל A: דגימה כוללת; פאנל B: לפי גודל חברה (חברות קטנות, בינוניות, גדולות).

הגדרות כל המשתנים הן זהות לאלו במחקר של ברנרד ותומאס. CARi,t הוא הסכום של התשואות האבנורמליות היומיות -2 עד 0 בהתאם לתאריך הכרזת הרווח (יום 0) של חברה i ברבעון t. תשואות אבנורמליות יומיות הן ההפרש בין התשואות היומיות של חברה i והתשואות של חברות NYES-AMEX באותו גודל עשירון, בהתבסס על הערכת הון שוק נכון ל-1 בינואר. SUEi,t היא טעות החיזוי של חברה i עבור רבעון t מהילוך מקרי עונתי עם מגמה, תוך סילום לפי סטיית התקן של האומדן התקופתי. עשירוני SUE מבוססים על דירוג בתוך הרבעון הקלנדרי של הכרזת רווחי רבעון t. בכל הרגרסיות, הערכים של משתני SUE מוחלפים על ידי הדירוג העשירוני ולאחר מכן עוברים סילום כך שהטווח שלהם הוא בין 0 (עבור העשירון התחתון) ל-1 (עבור העשירון העליון). חברות קטנות, בינוניות וגדולות נמצאות בעשירוני גודל 1 עד 4, 5 עד 7 ו-8 עד 10, בהתאמה. מבוסס על שווי הון שוק נכון ל-1 בינואר. כל אומדני הפרמטרים מוכפלים ב-100. ערכי P מצוינים בסוגריים.

+

[1] האפשרות השנייה תיתכן כתוצאה מהטיית הישרדות ביחס לרווחים (בראון, גטסמן, רוס 1995; בראון ופופ 1995) או רווחים המשמשים כפרוקסי לטעויות בעת חיזוי תשואה אבנורמלית (בול 1978, 1992)

[2] באופן מקובל, משתנה זה ידוע בתור SUE. לדעתנו מונח זה הוא מטעה. תוחלת הרווח מניחה מודל הילוך מקרי עונתי עבור רווחים רבעוניים, ומתעלמת ממתאם סדרתי בהפרשים העונתיים. מצב זה אינו סביר (ראו חלק 6), אינו מהווה מודל סדרה עתית אופטימלי (טבלה 1), ואינו המודל העולה מתגובת השוק הממשית לרווחים (טבלה 3).

[3] ווטס (1975), פוסטר (1977), גריפין (1977), בראון ורוזף (1979), ברנארד ותומאס (1990), ברטוב (1992).

[4] המתאם בשיהוי 3 הוא קטן, ולכן דפוס זה לעתים מיוצג כ- (+,+,0,-). בטבלה 1 השיהוי הוא חיובי עבור כל הקבוצות, ולכן הדפוס שבחרנו הוא (+,+,+,-).

[5] החישוב הוא 1.32+0.70+0.04+0.66, הסימון בשיהוי 4 הוא הפוך על מנת לנצל את המתאם השלילי.

[6] תוחלת הרווח גדלה ביחד עם אינטרוול התשואה, כלומר הבעיה של רווחים המשמשים כפרוקסי עבור תוחלת הרווח (בול 1978, 1992) הופכת לגדולה יותר ככל שהאינטרוולים מתארכים.

[7] ללא דרישה נוספת זו, הדגימה תכלול 76,034 תצפיות. הדרישה לנתוני 15 רבעוני רווח עוקבים גורמת, סביר להניח, להטיית הישרדות. בראון ופופ (1995) טוענים כי הכללת ארבעה רבעוני רווח נוספים מסירה חברות שנסגרו או נרכשו בשנה שלאחר הדגימה, ומכיוון שאירועים אלו אינם בלתי תלויים בתשואה עתידית או רווחים שוטפים, הם גורמים לתלות מלאכותית בין רווחים שוטפים לרווחים עתידיים ותשואה עתידית. טענה זו עשויה להסביר את התוצאות אליהן הגיעו ברנרד ותומאס.

[8] הבדל אחד הוא שאנו משתמשים ב-SUEs כמשתנים מסבירים, בעוד שברנרד ותומאס משתמשים בטעויות של מודל תוחלת רווח אוטו-רגרסיבי מסדר ראשון (בהפרשים עונתיים) של פוסטר (1977). מכיוון שיש מתאם גבוה בין טעויות המודל וה-SUEs, אין זה מפתיע כי התוצאות הן זהות. המקדם שלנו בשיהוי זמן 3 הוא שלילי, אך חסר חשיבות (פונקציה 4).